Пусть переменная p имеет значение истинности 1. Найти все значения q, r и s, при которых формула (p → ((¬p ∨ r) ∧ ¬s)) ∧ (¬s → (¬r ∧ p)) принимает значение 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что q вообще не встречается. Переменной $q$ в формуле нет, поэтому её значение безразлично: любой полученный вывод будет верен и при $q=0$, и при $q=1$. Если увидеть это сразу, разбор случаев сокращается вдвое.

2. 2

   Упрощаем первый конъюнкт при p = 1. При $p=1$ имеем $\neg p=0$, поэтому $\neg p\vee r=r$. А так как $1\to X\equiv X$,

   $p\to[(\neg p\vee r)\wedge\neg s]\;\equiv\;r\wedge\neg s$

   Чтобы вся конъюнкция равнялась $1$, отсюда обязательно $r=1$ и $s=0$.

3. 3

   Упрощаем второй конъюнкт при p = 1. Здесь $\neg r\wedge p=\neg r$, поэтому

   $\neg s\to(\neg r\wedge p)\;\equiv\;\neg s\to\neg r\;\equiv\;s\vee\neg r$

4. 4

   Соединяем оба требования. Формула равна $1$ ровно тогда, когда

   $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)=1$

   Левый множитель требует $r=1,\ s=0$; подставляя это в правый множитель, получаем $s\vee\neg r=0\vee 0=0$. Значит, вся конъюнкция равна $0$.

5. 5

   Делаем вывод: при p = 1 формула невыполнима.

   $\boxed{\text{Никакие значения }q,r,s\text{ не делают формулу истинной при }p=1}$

   Если задача дана с вариантами $(r,s)=(0,1),(1,1),(1,0),(0,0)$, то неверны все варианты.

6. 6

   Проверяем полной таблицей истинности. При $p=1$ подставим все четыре пары $(r,s)$ в $(r\wedge\neg s)\wedge(s\vee\neg r)$: $(0,0)\to 0\wedge 1=0$; $(0,1)\to 0\wedge 1=0$; $(1,0)\to 1\wedge 0=0$; $(1,1)\to 0\wedge 1=0$. Все четыре дают $0$, что подтверждает алгебраическое упрощение. Равносильно: $r\wedge\neg s$ и $s\vee\neg r=\neg(r\wedge\neg s)$ — точные отрицания друг друга, поэтому их конъюнкция противоречива при любом $p$.