Решите неравенство (h + 0,9)/√(1 + h²) < h.

Step-by-step solution

1. 1

   Безопасно избавимся от знаменателя. Так как $\sqrt{1+h^2} \ge 1 > 0$ при любом действительном $h$, умножение на этот корень не изменяет знак неравенства:

   $h + 0.9 < h\sqrt{1+h^2}$

   Вычтем $h$ из обеих частей, чтобы выделить $0.9$:

   $0.9 < h\left(\sqrt{1+h^2} - 1\right)$

2. 2

   Исключим случай $h \le 0$. Скобка $\sqrt{1+h^2} - 1 \ge 0$ для всех $h$, поэтому при $h \le 0$ правая часть не больше нуля, а левая равна $0.9 > 0$. Значит, ни одно неположительное $h$ не подходит, и дальнейший разбор ведём только при $h > 0$.

3. 3

   Возведём в квадрат при $h > 0$. Для $h > 0$ поделим обе части на $h$ и прибавим $1$:

   $1 + \frac{0.9}{h} < \sqrt{1+h^2}$

   Теперь обе части положительны, поэтому возведение в квадрат — эквивалентная операция:

   $1 + \frac{1.8}{h} + \frac{0.81}{h^2} < 1 + h^2$

4. 4

   Приведём к четвертой степени. Вычтем $1$ и умножим обе части на $h^2 > 0$:

   $1.8h + 0.81 < h^4 \quad \Longrightarrow \quad g(h) = h^4 - 1.8h - 0.81 > 0$

5. 5

   Найдём единственный положительный корень четвертичного многочлена. Для $h > 0$ производная $g'(h) = 4h^3 - 1.8$ обращается в ноль только при $h = \sqrt[3]{0.45} \approx 0.7663$, так что $g(h)$ сначала убывает, затем возрастает: при $g(0) = -0.81 < 0$ существует ровно один положительный корень. Метод Ньютона с начальным приближением $h_0 = 1.34$ даёт

   $h_* = 1.3397213599 \quad (g(h_*) \approx 10^{-39} \ \text{при 40 знаках точности})$

   Часто встречающееся значение $1.35082$ неверно: там $g = +0.0881$, то есть далеко от нуля.

6. 6

   Соберём и проверим ответ. $g > 0$ при $h > h_*$, значит

   $h > 1.3397213599\ldots$

   Подстановка в исходное неравенство подтверждает границу: при $h = 1.339$ разность левой и правой частей $+0.00075$ (не подходит), при $h = 1.3398$ — $-0.000082$ (подходит), при $h = 1.35$ — $-0.0107$ (подходит). Округлённый ответ: $h > 1.3397$.