Решить неравенство 2^x/(2^x − 3) + (2^x + 1)/(2^x − 2) + 5/(4^x − 5·2^x + 6) ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним замену $t=2^x$ и выразим $4^x$. Поскольку $4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2$, всё выражение становится рациональным относительно $t$: $\frac{t}{t-3}+\frac{t+1}{t-2}+\frac{5}{t^2-5t+6}\le 0$, где $t>0$, так как $2^x$ всегда положительно.

2. 2

   Разложим третий знаменатель, чтобы все дроби имели общий знаменатель. $t^2-5t+6=(t-2)(t-3)$ — это произведение первых двух знаменателей. Следовательно, область определения исключает $t=2$ и $t=3$.

3. 3

   Приведём к общему знаменателю $(t-2)(t-3)$. В числителе получаем: $t(t-2)+(t+1)(t-3)+5=(t^2-2t)+(t^2-2t-3)+5=2t^2-4t+2$, то есть неравенство принимает вид $\frac{2t^2-4t+2}{(t-2)(t-3)}\le 0$.

4. 4

   Заметим полный квадрат в числителе. $2t^2-4t+2=2(t^2-2t+1)=2(t-1)^2$, который неотрицателен при любом $t$. Это ключевое наблюдение: дробь может быть $\le 0$ только если числитель равен нулю или знаменатель отрицателен.

5. 5

   Рассмотрим оба случая. Нулевой числитель даёт $t=1$, а при этом $(1-2)(1-3)=2\neq 0$, то есть $t=1$ — допустимое решение. Отрицательный знаменатель означает $(t-2)(t-3)<0$, то есть $2<t<3$. Вместе: $t=1$ или $2<t<3$.

6. 6

   Возвращаемся к переменной $x$. $t=1$ означает $2^x=1$, то есть $x=0$. Диапазон $2<2^x<3$ даёт $1<x<\log_2 3\approx 1{,}585$, поскольку $2^x$ возрастает и $2^1=2$.

7. 7

   Проверим выделенную точку. При $x=0$ получаем $\frac{1}{1-3}+\frac{2}{1-2}+\frac{5}{1-5+6}=-\tfrac12-2+\tfrac52=0$, что удовлетворяет нестрогому неравенству, подтверждая, что $x=0$ — действительное отдельное решение, а не посторонний корень.