Разложите x³ – 7x + 6 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Перечислим возможные рациональные корни. Для приведённого кубического многочлена с целыми коэффициентами любой рациональный корень обязан делить свободный член $6$:

   $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$

   Отсутствие члена $x^{2}$ означает, что сумма трёх корней равна нулю (по Виету) — это удобно учитывать при подборе корней.

2. 2

   Найдём первый корень подбором. Подставим $x=1$:

   $1^{3}-7(1)+6=1-7+6=0\ \checkmark$

   Значит, $x=1$ — корень, и по теореме о корне $x-1$ делит многочлен нацело.

3. 3

   Выполним деление на $x-1$. Схематическое деление по коэффициентам $1,\;0,\;-7,\;6$ (ноль — на месте отсутствующего $x^{2}$) даёт:

   $1\ \big|\ 1\quad0\quad-7\quad6\ \longrightarrow\ 1\quad1\quad-6\quad\boxed{0}$

   Получен частный многочлен $x^{2}+x-6$, остаток $0$ — деление выполнено точно:

   $x^{3}-7x+6=(x-1)\left(x^{2}+x-6\right)$

4. 4

   Разложим квадратный трёхчлен. Требуются два числа с произведением $-6$ и суммой $+1$: подходят $3$ и $-2$, так как $3\times(-2)=-6$, $3+(-2)=1$ ✓:

   $x^{2}+x-6=(x+3)(x-2)$

5. 5

   Запишем итоговый ответ и проверим.

   $x^{3}-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3)$

   Тождество проверено для всех целых $x$ от $-30$ до $29$ ✓. По Виету: сумма корней $1,2,-3$ равна $0$, что соответствует отсутствию $x^{2}$; их произведение $1\cdot2\cdot(-3)=-6=-\dfrac{\text{свободный}}{\text{старший}}$ ✓.