В координатной плоскости парабола с вершиной (9, −14) пересекает ось x в двух точках. Если её уравнение имеет вид y = ax² + bx + c, какие значения может принимать a + b + c?

Step-by-step solution

1. 1

   Поймём, что означает сумма a+b+c. Подставляя $x=1$ в $y=ax^2+bx+c$, получаем $a(1)+b(1)+c=a+b+c$. Следовательно,

   $a+b+c=y(1),$

   то есть это значение параболы при $x=1$. Не требуется находить $b$ и $c$ по отдельности — это тождество и есть основной приём.

2. 2

   Запишем параболу в виде с вершиной. Для вершины $(9,-14)$ имеем:

   $y=a(x-9)^{2}-14.$

3. 3

   Подставим x=1.

   $a+b+c=y(1)=a(1-9)^{2}-14=64a-14.$

4. 4

   Определим знак a, исходя из двух пересечений с осью x. Вершина находится при $y=-14$, то есть ниже оси $x$. Парабола с наименьшей точкой ниже оси может пересекать ось дважды только если она направлена вверх, то есть

   $a>0.$

   (Если бы $a<0$, вершина была бы максимумом, и вся кривая лежала бы не выше $y=-14$, не пересекаясь с осью.)

5. 5

   Преобразуем ограничение на a в ограничение на сумму. Так как $a>0$,

   $64a>0\quad\Longrightarrow\quad a+b+c=64a-14>-14.$

   Значит, можно получить любое число строго больше $-14$, и ни одно число $\le -14$ недостижимо.

6. 6

   Проверим на конкретном примере. Пусть $a=1$: $y=(x-9)^2-14=x^2-18x+67$, тогда $a+b+c=1-18+67=50=64(1)-14$ — всё верно. Такая парабола имеет вершину $(9,-14)$ и корни $9\pm\sqrt{14}$ — два пересечения с осью $x$, как требуется. Если взять $a=\tfrac{1}{64}$, получаем $a+b+c=-13$, то есть значения, сколь угодно близкие к $-14$, тоже достижимы.