Решить 4x² + 16x + 7 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала вычислим дискриминант. При $a=4$, $b=16$, $c=7$

   $b^{2}-4ac=16^{2}-4(4)(7)=256-112=144$

   Положительный точный квадрат означает два различных рациональных корня — сработают и формула корней, и разложение на множители, но формула действует более механически.

2. 2

   Применим формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-16\pm\sqrt{144}}{8}=\frac{-16\pm 12}{8}$

3. 3

   Вычислим обе ветви.

   $x=\frac{-16+12}{8}=\frac{-4}{8}=-\frac12,\qquad x=\frac{-16-12}{8}=\frac{-28}{8}=-\frac72$

   $\boxed{x=-\tfrac12\ \text{или}\ x=-\tfrac72}$

4. 4

   Проверим разложением на множители. Поскольку дискриминант оказался точным квадратом, трёхчлен раскладывается над рациональными числами:

   $4x^{2}+16x+7=(2x+1)(2x+7)$

   Раскрываем скобки: $4x^{2}+14x+2x+7=4x^{2}+16x+7$ ✓, а приравнивание каждой скобки к нулю даёт те же два корня.

5. 5

   Проверим по теореме Виета. Сумма корней должна равняться $-b/a=-4$, а произведение — $c/a=\tfrac74$: $-\tfrac12-\tfrac72=-4$ ✓ и $\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac72\right)=\tfrac74$ ✓. То, что оба корня отрицательны, тоже ожидаемо: $b$ и $c$ положительны при $a>0$.