Докажите, что если квадратная матрица перестановочна с каждой матрицей того же размера, то она является скалярным кратным единичной матрицы.

Step-by-step solution

1. 1

   Подберём удачные пробные матрицы. Вместо произвольной $B$ возьмём матричные единицы $E_{ij}$ — матрицы, у которых на пересечении строки $i$ и столбца $j$ стоит $1$, а все остальные элементы нулевые. Раз $A$ перестановочна (коммутирует) со всем, она перестановочна и с каждой $E_{ij}$.

2. 2

   Вычислим оба произведения. Пусть $A = (a_{kl})$:

   $AE_{ij} \text{ — это матрица, у которой } i\text{-й столбец } A \text{ стоит в столбце } j$
   $E_{ij}A \text{ — это матрица, у которой } j\text{-я строка } A \text{ стоит в строке } i$

3. 3

   Обнулим внедиагональные элементы. Приравняв $AE_{ij} = E_{ij}A$ и сравнив элементы, получаем $a_{ki} = 0$ при каждом $k \ne i$. Поскольку $i$ и $j$ были произвольны, каждый внедиагональный элемент $A$ равен нулю, то есть $A$ диагональна.

4. 4

   Заставим диагональные элементы совпасть. Сравнение оставшихся элементов даёт $a_{ii} = a_{jj}$ для всех $i, j$. Значит, у всех диагональных элементов одно и то же значение $\lambda$.

5. 5

   Делаем вывод. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны $\lambda$, — это в точности $\lambda I_n$. (Обратное очевидно: $\lambda I$ перестановочна со всем.) Тем самым центр кольца матриц $M_n(F)$ состоит ровно из скалярных матриц.