Решите уравнение 25x⁴ + 10x² − 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём биквадратный вид. В уравнении есть только чётные степени $x$, поэтому замена $u=x^{2}$ превращает уравнение четвёртой степени в квадратное: $25u^{2}+10u-4=0.$ Приём работает для любого $ax^{4}+bx^{2}+c$ и гораздо быстрее общей формулы для уравнений четвёртой степени.

2. 2

   Решаем квадратное уравнение относительно $u$. При $a=25$, $b=10$, $c=-4$ $u=\frac{-10\pm\sqrt{100-4(25)(-4)}}{50}=\frac{-10\pm\sqrt{500}}{50}=\frac{-10\pm 10\sqrt5}{50}=\frac{-1\pm\sqrt5}{5}.$ Здесь $\sqrt{500}=10\sqrt5$, а общий множитель $10$ сокращается с $50$.

3. 3

   Возвращаемся к $x$, разбирая случаи по очереди. Так как $u=x^{2}$, каждое значение $u$ даёт два значения $x$ — но только если $u\ge 0$. Поскольку $\sqrt5=2.2360680$, $u_{1}=\frac{\sqrt5-1}{5}=0.2472136>0,\qquad u_{2}=\frac{-1-\sqrt5}{5}=-0.6472136<0.$

4. 4

   Из положительного значения получаем действительные корни. $x^{2}=\frac{\sqrt5-1}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt5-1}{5}}=\pm 0.4972058.$ Других действительных решений нет, поэтому график многочлена пересекает ось ровно дважды.

5. 5

   Из отрицательного значения получаем мнимые корни. $x^{2}=-\frac{1+\sqrt5}{5}\quad\Longrightarrow\quad x=\pm i\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{5}}=\pm 0.8044959\,i.$ Типичная ошибка здесь — не проверить знак $u$ перед извлечением корня: тогда либо появятся два фальшивых действительных корня, либо потеряются два комплексных.

6. 6

   Проверяем подстановкой. При $x=0.4972058$: $x^{2}=0.2472136$ и $x^{4}=0.06111456$, поэтому $25(0.06111456)+10(0.2472136)-4=1.5278640+2.4721360-4=0.0000000$. Вторая проверка: произведение всех четырёх корней должно равняться $c/a=-4/25=-0.16$, и действительно $\left(0.4972058\right)^{2}\times\left(-\left(0.8044959\right)^{2}\right)=0.2472136\times(-0.6472136)=-0.1600000$.