Решите уравнение (x² + 4x − 12)·√(x + 5) = 0 и найдите сумму его корней.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выписываем область определения. Квадратный корень требует $x+5\ge 0$, то есть $x\ge -5$. Именно это ограничение и делает задачу не рядовым разложением на множители: один из корней квадратного трёхчлена окажется вне области.

2. 2

   Разбиваем произведение на два случая. Произведение обращается в нуль, когда $x^{2}+4x-12=0$ либо когда $\sqrt{x+5}=0$.

3. 3

   Решаем квадратный множитель. Дискриминант равен $D=4^{2}-4(1)(-12)=16+48=64$, поэтому $x=\frac{-4\pm 8}{2},$ откуда $x_1=2$ и $x_2=-6$. Так как $-6<-5$, значение $x=-6$ не входит в область определения и его надо отбросить; остаётся только $x=2$.

4. 4

   Решаем подкоренной множитель. Из $\sqrt{x+5}=0$ следует $x+5=0$, то есть $x=-5$ — это в точности левый конец области определения, поэтому корень допустим.

5. 5

   Складываем оставшиеся корни. Множество решений — $\{-5,2\}$, значит сумма равна $-5+2=-3$. Проверка: при $x=2$ квадратный множитель равен $4+8-12=0$, а при $x=-5$ равен нулю корень, так что в обоих случаях произведение обращается в нуль.