Решить неравенство |x + 1| + |x − 1| ≤ 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Прочитаем левую часть как суммарное расстояние. Так как $|x+1|=|x-(-1)|$, выражение равно расстоянию от $x$ до $-1$ плюс расстояние от $x$ до $1$. У любой точки между $-1$ и $1$ суммарное расстояние ровно $2$ (это промежуток между двумя опорными точками), а выход наружу добавляет удвоенный перелёт. Значит, неравенство спрашивает: какие точки укладываются в суммарный «бюджет пути» $3$?

2. 2

   Разобьём по точкам смены знака. Выражения под модулями меняют знак при $x=-1$ и $x=1$, поэтому рассмотрим три промежутка: $x\le -1$, $-1\le x\le 1$ и $x\ge 1$.

3. 3

   Случай $x\le -1$. Здесь $x+1\le 0$ и $x-1<0$, поэтому оба модуля раскрываются со знаком минус:

   $-(x+1)-(x-1)=-2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\ge -\frac32$

   (Деление на $-2$ переворачивает знак неравенства.) Пересечение с $x\le -1$ даёт $-\frac32\le x\le -1$.

4. 4

   Случай $-1\le x\le 1$. Теперь $x+1\ge 0$, но $x-1\le 0$, поэтому

   $(x+1)-(x-1)=2\le 3$

   Переменная $x$ сокращается полностью: утверждение верно при любом $x$ из этого промежутка, поэтому весь отрезок $[-1,1]$ входит в решение. Это и есть та «плоская площадка», которую мы предсказали в шаге 1.

5. 5

   Случай $x\ge 1$. Оба выражения неотрицательны:

   $(x+1)+(x-1)=2x\le 3\;\Longrightarrow\;x\le \frac32$

   Пересечение с $x\ge 1$ даёт $1\le x\le \frac32$.

6. 6

   Объединим три части и проверим границу.

   $\left[-\tfrac32,-1\right]\cup[-1,1]\cup\left[1,\tfrac32\right]=\left[-\tfrac32,\tfrac32\right]$

   Проверка: при $x=\frac32$ сумма равна $2.5+0.5=3$, поэтому конец отрезка входит; при $x=1.6$ она равна $2.6+0.6=3.2>3$ — справедливо исключено. Равносильно ответ записывается как $|x|\le \frac32$.