Запишите дробь 81/16 в виде степени. Какие основание и показатель подходят и является ли 81/16 степенью целого числа?

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим числитель и знаменатель на простые множители. Последовательное деление даёт

   $81=3\cdot 27=3\cdot 3\cdot 9=3^{4},\qquad 16=2\cdot 8=2\cdot 2\cdot 4=2^{4}.$

   Разложение нужно именно для того, чтобы увидеть, совпадают ли показатели, — это и есть условие, при котором дробь записывается одной степенью.

2. 2

   Применим свойство степени частного в обратную сторону. Оба показателя равны $4$, поэтому правило $\dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$ применимо напрямую:

   $\frac{81}{16}=\frac{3^{4}}{2^{4}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   Это тождество обычно помнят слева направо; именно чтение справа налево превращает дробь в степень.

3. 3

   Проверим, нельзя ли уменьшить показатель. Можно ли записать $\tfrac{81}{16}$ с меньшим показателем, например как квадрат? Для этого нужно $\left(\tfrac{3}{2}\right)^{4}=t^{2}$ при $t=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac94$, и действительно

   $\frac{81}{16}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\left(\frac{3}{2}\right)^{4}.$

   Обе записи верны; у $\left(\tfrac32\right)^{4}$ основание наименьшее, а показатель $4$ — наибольший возможный, поскольку числа $3$ и $2$ простые.

4. 4

   Ответим на вопрос о «степени целого числа». В десятичной записи $\tfrac{81}{16}=5.0625$ — это не целое число, поэтому оно не может равняться $m^{k}$ при целых $m$ и $k\ge 1$. Основание обязано быть дробным: несократимая дробь является целой степенью, только если её знаменатель равен $1$.

5. 5

   Проверим точно, а не в десятичных дробях. Вычислим $\left(\tfrac32\right)^{4}$ по действиям с дробями: $\tfrac32\cdot\tfrac32=\tfrac94$, затем $\tfrac94\cdot\tfrac94=\tfrac{81}{16}$ ✓. Проверка в точных дробях, а не через $1.5^{4}=5.0625$, полностью снимает вопрос об округлении.