Решите x/(x + 100) - (x + 25)/(x + 125) = 1/10. Укажите ОДЗ и ответьте, есть ли действительные решения.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала запишем область допустимых значений. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому сразу отмечаем:

   $x\neq-100,\qquad x\neq-125.$

   Любое найденное значение $x$, совпадающее с этими числами, придётся исключить, поэтому удобнее записать ОДЗ заранее.

2. 2

   Приведём дроби к общему знаменателю $(x+100)(x+125)$. Перемножим числители крест-накрест:

   $\frac{x(x+125)-(x+25)(x+100)}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   Раскроем скобки по отдельности:

   $x(x+125)=x^{2}+125x,\qquad (x+25)(x+100)=x^{2}+125x+2500.$

3. 3

   Обратим внимание, что числитель сокращается до константы. В двух разложениях совпадают $x^{2}$ и $125x$, поэтому они полностью сокращаются:

   $\left(x^{2}+125x\right)-\left(x^{2}+125x+2500\right)=-2500.$

   Уравнение принимает вид

   $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}=\frac{1}{10}.$

   Это ключевой момент: слева — константа, делённая на квадратный трёхчлен. Так как $-2500<0$, левая часть может быть положительной только при отрицательном знаменателе, то есть при $-125<x<-100$.

4. 4

   Перемножим крест-накрест и составим квадратное уравнение. Получаем $-25000=(x+100)(x+125)=x^{2}+225x+12500$,

   $x^{2}+225x+37500=0.$

   Вычислим дискриминант:

   $\Delta=225^{2}-4(1)(37500)=50625-150000=-99375<0,$

   то есть квадратное уравнение не имеет действительных корней, а значит, исходное уравнение также не имеет действительных решений.

5. 5

   Запишем комплексные корни и поясним геометрическую причину. Так как $99375=625\cdot159$, $\sqrt{-99375}=25i\sqrt{159}$, значит

   $x=\frac{-225\pm 25i\sqrt{159}}{2}.$

   Подставляя любой из этих корней, получаем ровно $\tfrac{1}{10}$. Геометрически: на интервале $(-125,-100)$ произведение $(x+100)(x+125)$ достигает минимума $-\left(\tfrac{25}{2}\right)^{2}=-156{,}25$, поэтому $\frac{-2500}{(x+100)(x+125)}\ge 16$ — никогда не достигает $0{,}1$.