Решить неравенство 4x² − 4x + 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём формулу полного квадрата при старшем коэффициенте, отличном от единицы. Здесь $4x^2=(2x)^2$ и $1=1^2$, а средний член сходится:

   $2\cdot(2x)\cdot 1=4x\quad\Longrightarrow\quad 4x^2-4x+1=(2x-1)^2$

2. 2

   Подтверждаем дискриминантом. $\Delta=(-4)^2-4(4)(1)=16-16=0$, значит корень ровно один, он кратный, и смены знака не происходит.

3. 3

   Сводим всё к утверждению про квадрат.

   $(2x-1)^2>0\iff 2x-1\neq 0$

4. 4

   Решаем уравнение для исключаемой точки.

   $2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac12$

   значит неравенству удовлетворяет любое действительное число, кроме $\tfrac12$.

5. 5

   Проверяем и сравниваем с версией при единичном коэффициенте. При $x=\tfrac12$: $1-2+1=0$, а это не $>0$ $\checkmark$. При $x=0$: $1>0$ $\checkmark$. Структура та же, что у $x^2-2x+1>0$, но кратный корень сместился с $1$ в $\tfrac12$, потому что в основании стоит $2x-1$, а не $x-1$.