Упростите 3√12 / (4 × кубический корень из 54), чтобы в знаменателе не осталось радикала.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала следует упростить каждый радикал отдельно. Находим наибольший полный квадрат под знаком квадратного корня и наибольший полный куб под знаком кубического корня:

   $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt3,\qquad \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot 2}=3\sqrt[3]{2}$

   Квадраты выносятся из-под квадратного корня, кубы — из-под кубического корня. Это основной приём при упрощении радикалов.

2. 2

   Подставим полученные выражения и сократим рациональные коэффициенты. Дробь принимает вид:

   $\frac{3\cdot 2\sqrt3}{4\cdot 3\sqrt[3]{2}}=\frac{6\sqrt3}{12\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}$

   Здесь сокращаются только числа; $\sqrt3$ и $\sqrt[3]{2}$ имеют разные показатели, поэтому их нельзя объединить.

3. 3

   Выберем подходящий множитель для рационализации знаменателя с кубическим корнем. Для квадратного корня обычно домножают на такой же корень, но для $\sqrt[3]{2}$ этого недостаточно, поскольку $\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{4}$ — всё ещё иррационально. Нужно получить три множителя двойки под корнем, поэтому домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt[3]{4}$:

   $\frac{\sqrt3}{2\sqrt[3]{2}}\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{8}}$

4. 4

   Завершаем преобразование знаменателя. Поскольку $\sqrt[3]{8}=2$,

   $\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt3\,\sqrt[3]{4}}{4}$

   Теперь в знаменателе стоит рациональное число $4$, как и требуется по условию.

5. 5

   Проверим результат по десятичному значению. Исходное выражение: $\dfrac{3\cdot 3.4641}{4\cdot 3.7798}=0.68736$, а после упрощения: $\dfrac{1.7321\cdot 1.5874}{4}=0.68736$. Значения совпадают, значит, преобразование выполнено верно.