Решите уравнение x(−5x + 250) = 2625.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём знакомую конструкцию. Произведение вида $x(-5x+250)$ — классическая модель выручки или площади: $x$ единиц по цене, которая падает с ростом $x$. Приравнивание к $2625$ спрашивает, при каких величинах достигается это значение, — значит, ответов следует ждать два, по одному с каждой стороны от максимума.

2. 2

   Раскрываем скобки и переносим всё в одну часть.

   $-5x^2+250x=2625\qquad\Longrightarrow\qquad -5x^2+250x-2625=0$

3. 3

   Делим на -5, чтобы старший коэффициент стал равен 1. Именно этот шаг превращает громоздкие числа в удобные для разложения. Делить уравнение (в отличие от неравенства) на отрицательное число безопасно:

   $x^2-50x+525=0$

   Заметим: $250/(-5)=-50$ и $-2625/(-5)=+525$ — оба знака меняются.

4. 4

   Раскладываем приведённое квадратное уравнение на множители. Ищем два числа с произведением $+525$ и суммой $-50$; оба обязаны быть отрицательными. Так как $525=3\cdot5^2\cdot7$, кандидаты — пары $(1,525),(3,175),(5,105),(7,75),(15,35),(21,25)$, и подходит $15+35=50$:

   $x^2-50x+525=(x-15)(x-35)$

5. 5

   Пользуемся тем, что произведение равно нулю.

   $x-15=0\Rightarrow x=15,\qquad x-35=0\Rightarrow x=35$

6. 6

   Проверяем оба корня в исходном уравнении. При $x=15$: $15(-75+250)=15\times175=2625$ ✓. При $x=35$: $35(-175+250)=35\times75=2625$ ✓. Структурная проверка: сумма корней равна $50=-b/a$, произведение — $525=c/a$ ✓, а их середина $25$ — точка максимума параболы со значением $25\times125=3125$, что заметно больше $2625$: иначе двух решений и не было бы.