Решить кубическое уравнение x³ + 40x² + 400x + 2000 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим рациональные корни. Делители числа $2000$ — $\pm 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000, 2000$. Подставляя наиболее вероятные отрицательные значения, получаем: $f(-10) = 1000$, $f(-20) = 2000$, $f(-25) = 1375$, $f(-40) = -14000$. Нулей нет, но смена знака между $-25$ и $-40$ указывает на наличие одного действительного корня в этом промежутке.

2. 2

   Приведём кубическое уравнение. Пусть $a = 40$, $b = 400$, $c = 2000$, подставим $x = y - \tfrac{40}{3}$. Тогда

   $p = b - \frac{a^2}{3} = 400 - \frac{1600}{3} = -\frac{400}{3}, \qquad q = \frac{2a^3}{27} - \frac{ab}{3} + c = \frac{128000}{27} - \frac{144000}{27} + \frac{54000}{27} = \frac{38000}{27}$

   Получаем $y^3 - \tfrac{400}{3}y + \tfrac{38000}{27} = 0$.

3. 3

   Вычислим дискриминант.

   $\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{19000}{27}\right)^2 - \left(\frac{400}{9}\right)^3 = \frac{361000000 - 64000000}{729} = \frac{11000000}{27}$

   Это $\Delta \approx 407407{,}4 > 0$, значит, имеется один действительный корень и пара комплексно-сопряжённых.

4. 4

   Применим формулу Кардано и вернёмся к x.

   $x = \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} + \sqrt{\frac{11000000}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{19000}{27} - \sqrt{\frac{11000000}{27}}} - \frac{40}{3}$

   Численно $\sqrt{11000000/27} = 638{,}2847$, $\tfrac{19000}{27} = 703{,}7037$, поэтому кубические корни: $\sqrt[3]{-65{,}4190} = -4{,}02935$ и $\sqrt[3]{-1341{,}9884} = -11{,}03018$. Их сумма $y \approx -15{,}059534$, значит

   $x_1 = -15{,}059534 - 13{,}333333 = -28{,}392868$

5. 5

   Восстановим комплексную пару. Деление на $(x - x_1)$ даёт $x^2 + 11{,}607132x + 70{,}440226$, корни которого

   $x = -5{,}803566 \pm 6{,}062907\,i$

6. 6

   Проверим по Виету. Сумма корней $= -28{,}392868 + 2(-5{,}803566) = -40{,}000000$, совпадает с $-a = -40$. Произведение $= -28{,}392868\left(5{,}803566^2 + 6{,}062907^2\right) = -28{,}392868 \times 70{,}440220 = -2000{,}0$, совпадает с $-c = -2000$. Прямая подстановка $x_1$ в исходное уравнение даёт $|f(x_1)| < 10^{-9}$. (Распространённое в справочниках значение $-30{,}3393$ неверно: $f(-30{,}3393) \approx -1243$.)