Решите 0,097x² − 2,20765x + 4,37114 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем формулу для корней квадратного уравнения. Пусть $a=0.097,\qquad b=-2.20765,\qquad c=4.37114.$ Целочисленного разложения здесь нет, поэтому воспользуемся формулой: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.$ Следует обратить внимание, что $a$ мало — это означает, что итоговое деление на $2a=0.194$ увеличит любую ошибку округления примерно в 5 раз.

2. 2

   Вычислим дискриминант точно по формуле. $b^{2}=(-2.20765)^{2}=4.8737185225,$ $4ac=4(0.097)(4.37114)=1.6960023200,$ $D=4.8737185225-1.6960023200=3.1777162025.$ Сохранение всех десяти знаков после запятой на этом этапе позволяет получить корни с точностью до шести знаков далее.

3. 3

   Находим корень из дискриминанта и определяем количество корней. $\sqrt{D}=\sqrt{3.1777162025}=1.78261499\ldots$ Так как $D>0$, уравнение имеет два различных действительных корня; ветви параболы направлены вверх, и она пересекает ось $x$ дважды.

4. 4

   Делим на $2a$ и находим значения $x$. $x=\frac{2.20765\pm 1.78261499}{0.194}.$ Для плюса получаем $x=\frac{3.99026499}{0.194}=20.56837624,$ для минуса — $x=\frac{0.42503501}{0.194}=2.19090211.$

5. 5

   Проверим по теореме Виета сумму и произведение корней. По теореме Виета сумма корней равна $-b/a=2.20765/0.097=22.7592784$, а произведение $c/a=4.37114/0.097=45.0632990$. Наши значения дают $20.56837624+2.19090211=22.75927835$ и $20.56837624\times 2.19090211=45.06329897$, то есть оба корня найдены верно.