Решите неравенство (2x - 1)/3 > (3x - 5)/4 и запишите множество решений.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавимся от дробей с помощью наименьшего общего кратного. Знаменатели — $3$ и $4$, значит, НОК равен $12$. Домножая обе части неравенства на положительное число (а $12>0$), направление неравенства сохраняется, знак не меняется:

   $12\cdot\frac{2x-1}{3}>12\cdot\frac{3x-5}{4}\;\Longrightarrow\;4(2x-1)>3(3x-5).$

   Именно этот шаг делает дробные неравенства не сложнее целых — сначала избавляются от знаменателей, а уже потом работают с $x$.

2. 2

   Раскроем скобки в обеих частях. Выполняем умножение:

   $4(2x-1)=8x-4,\qquad 3(3x-5)=9x-15,$

   получаем неравенство

   $8x-4>9x-15.$

   Особое внимание на знак: $-3\times(-5)=+15$. Ошибка в этом месте приводит к неверной границе $x$ — вместо $11$ получится $-19$.

3. 3

   Соберём все $x$ в одну часть, чтобы коэффициент при $x$ остался положительным. Вычтем $8x$ из обеих частей, чтобы $x$ остался справа:

   $-4>x-15.$

   Можно было бы вычесть $9x$, получить $-x-4>-15$, но тогда пришлось бы делить на $-1$ и менять знак неравенства. Перенос меньшего коэффициента позволяет этого избежать.

4. 4

   Выразим $x$ и запишем ответ. Прибавим $15$ к обеим частям:

   $11>x,\qquad\text{то есть}\qquad x<11.$

   В интервальной записи множество решений: $(-\infty,11)$. Число $11$ не входит, так как неравенство строгое.

5. 5

   Проверим значения внутри и вне решения. При $x=10{,}9$: левая часть $=\frac{20.8}{3}\approx 6.933$, правая $=\frac{27.7}{4}=6.925$, и $6.933>6.925$ — верно. При $x=11{,}1$: левая $\approx 7.067$, правая $=7.075$, неравенство не выполняется — тоже верно. На границе $x=11$ обе части равны $7$, что подтверждает точность найденной границы.