Решите уравнение 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала оценим, где могут располагаться корни. По оценке Коши, каждый корень удовлетворяет $|m|\le 1+\max|a_k|/|a_4|=1+17.026/0.0395\approx 432$. Эта граница довольно грубая, но маленький старший коэффициент — тревожный признак: если разделить всё уравнение на $0.0395$, получаем $m^4-26.927m^3+206.16m^2-299.51m-431.04$, то есть сумма корней около $26.9$, а сами корни разбросаны на большом интервале.

2. 2

   Проведём сканирование знака на сетке. Подставляя значения $m$ с шагом $0.1$ от $-3$ до $60$, замечаем смену знака функции $f(m)$ в интервалах $(-0.9,-0.8)$, $(3.3,3.4)$, $(11.1,11.2)$ и $(13.3,13.4)$. Четыре смены знака для уравнения четвёртой степени означают наличие четырёх действительных корней — места для комплексных корней не остаётся, так как комплексные корни идут попарно, а всего корней четыре.

3. 3

   Уточним каждый интервал методом бисекции до нужной точности:

   $m_1=-0.86460205,\quad m_2=3.37179569,\quad m_3=11.10472698,\quad m_4=13.31466166$

   Каждое значение уточнялось до тех пор, пока остаток $|f(m)|$ не стал меньше $10^{-12}$.

4. 4

   Проверим результат по формулам Виета. Для уравнения $a_4m^4+\cdots+a_0$ сумма корней равна $-a_3/a_4=1.0636/0.0395=26.92658228$, а произведение — $a_0/a_4=-17.026/0.0395=-431.03797468$. Полученные четыре корня в сумме дают $26.92658228$ ✓ и в произведении $-431.03797468$ ✓ — совпадение до десяти значащих цифр, значит, ни один корень не пропущен и лишних нет.

5. 5

   Отклоним значения, не проходящие проверку подстановкой. Встречается ответ с $m\approx-0.9365$ и $m\approx3.3065$ и комплексной парой $12.2798\pm19.2988i$. Проверим: $f(-0.9365)=+2.0996$ и $f(3.3065)=-0.8396$, ни одно из них не равно нулю, а сумма корней с комплексной парой совпадает с $26.93$ лишь случайно. Верный ответ — четыре действительных корня.