Решить уравнение a/x = x относительно x, где a — постоянная.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала зафиксируем ограничение области определения. В левой части $x$ стоит в знаменателе, поэтому должно выполняться

   $x\neq0$

   иначе уравнение теряет смысл. Именно эта заметка сделанная сразу и обеспечит верный разбор случая $a=0$ в конце.

2. 2

   Избавимся от знаменателя. Умножим обе части на $x$ (это законно, так как $x\neq0$):

   $a=x^{2}$

   Уравнение говорит, что $x$ — это число, квадрат которого равен $a$; иначе говоря, $x$ есть среднее геометрическое чисел $a$ и $1$.

3. 3

   Извлечём корень, сохранив оба знака. При $a>0$:

   $x=\pm\sqrt{a}$

   Действительных решений два, потому что возведение в квадрат теряет информацию о знаке. Запись только $x=\sqrt{a}$ упускает отрицательный корень, который действительно подходит: $\dfrac{a}{-\sqrt{a}}=-\sqrt{a}$ ✓, поскольку $a=\left(\sqrt a\right)^{2}$.

4. 4

   Разберём остальные случаи для $a$. Если $a=0$, уравнение принимает вид $\dfrac{0}{x}=x$, то есть $x=0$, — но $x=0$ исключено областью определения, поэтому решений нет. Если $a<0$, то $x^{2}=a$ не имеет действительных корней вовсе, хотя в комплексных числах $x=\pm i\sqrt{|a|}$.

5. 5

   Проверим численно. Для $a=0.5$, $2$ и $7.3$ подстановка $x=\sqrt{a}$ в $\dfrac{a}{x}$ возвращает $\sqrt{a}$ с точностью до $10^{-12}$ ✓ в каждом случае. Контрольный пример с $a=9$: $x=\pm3$, и действительно $\tfrac93=3$ ✓ и $\tfrac{9}{-3}=-3$ ✓.