Пользуясь свойствами степеней, упростите выражение: частное минус 8 m в пятой n в восьмой и 2 m в седьмой n в минус третьей, возведённое в степень минус четыре. Ответ запишите с положительными показателями.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упрощаем то, что в скобках, и только потом трогаем внешний показатель. Если сперва выполнить деление, основание станет как можно проще, и внешняя степень будет применяться к трём простым множителям, а не к дроби из шести.

2. 2

   Делим коэффициенты и вычитаем показатели. Для одинаковых оснований $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

   $\frac{-8}{2}=-4,\qquad m^{5-7}=m^{-2},\qquad n^{8-(-3)}=n^{11}$

   Обратите внимание на двойной минус у $n$: вычитание $-3$ прибавляет $3$. Теперь в скобках стоит $\left(-4m^{-2}n^{11}\right)^{-4}$.

3. 3

   Распределяем внешний показатель по каждому множителю. По формулам $(abc)^k=a^kb^kc^k$ и $(a^m)^k=a^{mk}$:

   $(-4)^{-4}\left(m^{-2}\right)^{-4}\left(n^{11}\right)^{-4} = (-4)^{-4}\,m^{8}\,n^{-44}$

4. 4

   Вычисляем числовой множитель и следим за знаком. Число $-4$ возводится в чётную степень, поэтому результат положителен:

   $(-4)^{-4}=\frac{1}{(-4)^4}=\frac{1}{256}$

   Если бы внешний показатель был нечётным, этот множитель оказался бы отрицательным.

5. 5

   Переписываем каждую отрицательную степень как обратную величину. $n^{-44}=\dfrac{1}{n^{44}}$, поэтому все части собираются в

   $\frac{m^{8}}{256\,n^{44}}$

6. 6

   Проверяем быстрой подстановкой. При $m=1.7$ и $n=1.3$ исходное выражение равно $2.6415\times10^{-6}$, и $\dfrac{1.7^{8}}{256\cdot 1.3^{44}}$ даёт то же самое $2.6415\times10^{-6}$.