Найдите действительные решения уравнения (x + 4)² + 17(x + 4) + 72 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем повторяющийся блок, а не спешим раскрывать скобки. Выражение $x+4$ входит в квадрате и в первой степени, и больше нигде $x$ не встречается. Это верный признак уравнения, сводящегося к квадратному: раскрыть скобки до $x^2 + 25x + 156 = 0$ можно, но тогда теряется структура, благодаря которой разложение на множители получается лёгким.

2. 2

   Сделаем замену $u = x + 4$. Повторяющийся блок заменяется одной буквой, и уравнение становится обычным квадратным:

   $u^2 + 17u + 72 = 0$

3. 3

   Разложим квадратный трёхчлен относительно $u$ на множители. Ищем два числа с произведением $72$ и суммой $17$. Так как $8 \cdot 9 = 72$ и $8 + 9 = 17$:

   $(u+8)(u+9) = 0 \quad\Longrightarrow\quad u = -8 \ \text{ или } \ u = -9$

   Дискриминант равен $17^2 - 4(72) = 1 > 0$, что подтверждает наличие двух различных действительных корней.

4. 4

   Вернёмся к исходной переменной — этот шаг пропускают чаще всего. В задаче спрашивают $x$, а не $u$, поэтому подставим обратно $u = x+4$:

   $x + 4 = -8 \ \Rightarrow \ x = -12, \qquad x + 4 = -9 \ \Rightarrow \ x = -13$

5. 5

   Проверим оба значения в исходном уравнении. При $x=-12$: $(-8)^2 + 17(-8) + 72 = 64 - 136 + 72 = 0$. При $x=-13$: $(-9)^2 + 17(-9) + 72 = 81 - 153 + 72 = 0$. Поскольку замена — это простой сдвиг (мы не возводили обе части в квадрат и не извлекали корней), посторонних решений появиться не может.