Пусть a и b — положительные действительные числа, m = a³ + b³ и n = a²b + ab². Сравните m и n.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравниваем через разность, а не через частное. Для двух выражений надёжный приём — исследовать знак разности $m-n$: если $m-n>0$, то $m>n$; если $m-n=0$, они равны; если $m-n<0$, то $m<n$. Деление здесь тоже сработало бы, поскольку $a,b>0$, но вычитание оставляет всё многочленами, которые удобно раскладывать на множители.

2. 2

   Составляем разность и группируем слагаемые попарно.

   $m-n=a^3+b^3-a^2b-ab^2$

   Объединяем каждый куб с тем смешанным слагаемым, у которого та же переменная:

   $m-n=(a^3-a^2b)+(b^3-ab^2)=a^2(a-b)+b^2(b-a)$

3. 3

   Выносим общий множитель $(a-b)$. Так как $b-a=-(a-b)$,

   $m-n=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a-b)(a^2-b^2)$

   а $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, поэтому

   $\boxed{m-n=(a+b)(a-b)^2}$

   Эта разложенная форма и есть всё решение: сравнение двух выражений превращается в проверку знака произведения.

4. 4

   Считываем знак. При $a>0$ и $b>0$ имеем $a+b>0$, а $(a-b)^2\ge 0$ для любых действительных чисел. Произведение положительного числа на неотрицательное неотрицательно, поэтому

   $m-n\ge 0\qquad\Longrightarrow\qquad m\ge n$

5. 5

   Выясняем, когда достигается равенство. Произведение $(a+b)(a-b)^2$ обращается в нуль, только если нулю равен один из множителей. Поскольку $a+b>0$, равенство вынуждает $(a-b)^2=0$, то есть $a=b$. Итак,

   $a^3+b^3>a^2b+ab^2\ \text{ при } a\neq b,\qquad a^3+b^3=a^2b+ab^2\ \text{ при } a=b$

6. 6

   Проверяем на числах. Возьмём $a=3,b=1$: тогда $m=27+1=28$ и $n=9+3=12$, и действительно $(a+b)(a-b)^2=4\cdot 4=16=28-12$. Возьмём $a=b=2$: $m=16$ и $n=16$ — равенство, как и предсказано. То же тождество доказывает известный факт, что $a^3+b^3\ge ab(a+b)$ для положительных $a,b$.