Разложите x² − 4xy + 4y на множители или объясните, почему над целыми числами это невозможно.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем наличие общего множителя. Три слагаемых — это $x^2$, $-4xy$ и $4y$. В первом нет $y$, в последнем нет $x$, поэтому общего буквенного множителя нет, а у $x^2$ нет множителя $4$. Вынести нечего.

2. 2

   Пробуем формулу полного квадрата и убеждаемся, что она не подходит. Для шаблона $a^2-2ab+b^2$ последнее слагаемое обязано быть квадратом. Но $4y$ квадратом не является: показатель при $y$ нечётный. Знакомое тождество относится к выражению

   $x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$

   и вся разница именно в недостающем показателе у последнего $y$.

3. 3

   Рассматриваем выражение как квадратный трёхчлен относительно $x$ и считаем дискриминант. Запишем его в виде $x^2-(4y)x+4y$:

   $\Delta=(4y)^2-4(1)(4y)=16y^2-16y=16y(y-1)$

4. 4

   Делаем вывод. Квадратный трёхчлен относительно $x$ с многочленными коэффициентами раскладывается над $\mathbb{Z}[y]$ только тогда, когда его дискриминант является квадратом многочлена. Здесь $16y(y-1)$ — это $16$, умноженное на произведение двух различных линейных множителей, а такое выражение полным квадратом в $\mathbb{Z}[y]$ не является. Следовательно, $x^2-4xy+4y$ неприводим.

5. 5

   Проверяем частичной группировкой. Максимум, что удаётся сделать, — это записать

   $x^2-4y(x-1)$

   и это верное преобразование, но не разложение на множители: у оставшихся двух частей нет ничего общего. Если же в задаче подразумевалось $x^2-4xy+4y^2$, то ответом будет $(x-2y)^2$.