Решите неравенство (x − 2)(x + 1)(x − 4) < 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим критические точки. Произведение обращается в ноль там, где хотя бы один из множителей равен нулю:

   $x=-1,\qquad x=2,\qquad x=4.$

   Так как неравенство строгое, ни одно из этих трёх значений не входит в решение — это только границы. Важно расположить их по возрастанию перед построением схемы знаков.

2. 2

   Делим числовую прямую на четыре промежутка. Три найденных корня разбивают прямую на промежутки:

   $(-\infty,-1),\quad(-1,2),\quad(2,4),\quad(4,\infty).$

   Знак произведения линейных множителей сохраняется на всём промежутке, поэтому достаточно проверить по одной точке из каждого.

3. 3

   Проверяем по одной точке в каждом промежутке. Подсчитываем количество отрицательных множителей:

   $x=-2:\ (-4)(-1)(-6)<0;\qquad x=0:\ (-2)(1)(-4)>0;$

   $x=3:\ (1)(4)(-1)<0;\qquad x=5:\ (3)(6)(1)>0.$

   Если число отрицательных множителей нечётно — всё произведение отрицательно, если чётно — положительно. Поэтому знаки чередуются при переходе через каждый корень.

4. 4

   Проверяем правило чередования знаков по кратности. Каждый корень здесь — простой (кратность один), значит, знак меняется на противоположный при переходе через него. Если начать с самого правого промежутка, где все множители положительны, то слева получаем последовательность $+,-,+,-$ — что совпадает с результатами проверки точек. Если бы какой-то множитель был в квадрате, знак бы не менялся.

5. 5

   Выделяем промежутки, где произведение отрицательно. По схеме видно:

   $x\in(-\infty,-1)\cup(2,4).$

   Все концы промежутков — открытые. Если бы неравенство было $\le0$, ответом было бы $(-\infty,-1]\cup[2,4]$ — с включением всех трёх корней.