Решите уравнение: квадратный корень из (x² минус 3) равен x минус 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём условие знака для правой части. Значение квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому требуется $x-1 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge 1.$ Это ограничение позволит позже отличить действительные корни от посторонних.

2. 2

   Возведём обе части в квадрат. $x^2-3 = (x-1)^2 = x^2-2x+1.$

3. 3

   Сократим квадратные члены. $x^2$ встречается по обе стороны и сокращается, остаётся линейное уравнение: $-3 = -2x+1.$ При совпадении старших членов после возведения в квадрат степень уравнения понижается.

4. 4

   Решим уравнение относительно x. $-4 = -2x \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$

5. 5

   Проверим оба условия. $x=2$ удовлетворяет $x\ge1$, а подкоренное выражение $2^2-3 = 1 \ge 0$. Подставим: $\sqrt{4-3} = \sqrt1 = 1$, $2-1 = 1$. Левая и правая части равны, значит $x=2$ — действительный корень.

6. 6

   Поясним важность проверки. При возведении в квадрат уравнение $\sqrt{A} = B$ может дать решения и для $\sqrt{A} = -B$; здесь нашёлся только один кандидат и он подошёл, но в похожей задаче $\sqrt{x^2-6x+25} = 3-x$ тот же приём приводит к противоречию.