Найти корень уравнения (5x − 8)² − 25x² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем квадрат.

   $(5x-8)^2 = 25x^2 - 80x + 64$

   поэтому уравнение принимает вид $25x^2 - 80x + 64 - 25x^2 = 0$.

2. 2

   Проследим, как сокращаются квадратные слагаемые. Имеем $25x^2 - 25x^2 = 0$, остаётся

   $-80x + 64 = 0$

   Уравнение лишь выглядело квадратным: поскольку у обоих квадратов один и тот же коэффициент $25$, оно на самом деле линейное и имеет ровно один корень, а не два.

3. 3

   Решим линейное уравнение.

   $80x = 64 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{64}{80} = \frac{4}{5} = 0.8$

4. 4

   Подтвердим результат через разность квадратов. Вместо раскрытия скобок разложим на множители:

   $(5x-8)^2 - (5x)^2 = \left[(5x-8) - 5x\right]\left[(5x-8) + 5x\right] = (-8)(10x - 8)$

   Равенство нулю требует $10x - 8 = 0$, то есть $x = 0.8$: постоянный множитель $-8$ никогда не обращается в нуль, и это ещё один способ увидеть, что корень единственный.

5. 5

   Проверим. При $x = 0.8$: $(4 - 8)^2 - 25(0.64) = 16 - 16 = 0$. Верно.