Решите уравнение x³ - 0,016875x² + 0,000094921875x - 1,77975547×10⁻⁷ = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, образуют ли первые три члена полный куб. Для $(x-a)^3=x^3-3ax^2+3a^2x-a^3$ коэффициент при $x^2$ даёт $3a=0.016875$, откуда $a=0.005625$. Проверим коэффициент при $x$: $3a^2=3(0.005625)^2=3(0.000031640625)=0.000094921875$ — совпадает точно. Это не случайность: уравнение построено на основе сдвинутого куба.

2. 2

   Перепишем уравнение как полный куб плюс константа. Поскольку $a^3=(0.005625)^3=1.77978515625\times10^{-7}$,

   $x^3-0.016875x^2+0.000094921875x=(x-0.005625)^3+a^3$

   получаем уравнение

   $(x-0.005625)^3=1.77975547\times10^{-7}-1.77978515625\times10^{-7}=-2.968625\times10^{-12}$

3. 3

   Извлечём действительный кубический корень. У действительного числа существует ровно один действительный кубический корень, поэтому

   $x-0.005625=-\sqrt[3]{2.968625\times10^{-12}}=-1.4372041\times10^{-4}$

   $x=0.005625-0.00014372=0.00548128$

   Отрицательный знак сохраняется, так как правая часть отрицательна.

4. 4

   Учтём остальные два корня. Остальные корни получаются через комплексные кубические корни из единицы, $x=a+r\,e^{\pm 2\pi i/3}$ при $r=-1.4372041\times10^{-4}$:

   $x\approx 0.00569686\pm 0.00012447\,i$

   Таким образом, у кубического уравнения один действительный корень и сопряжённая пара комплексных — повторяющегося действительного корня нет, что подтверждается дискриминантом: $(x-a)^3=c$ имеет тройной корень только при $c=0$.

5. 5

   Проверим действительный корень подстановкой. При $x=0.005481279590$: $x^3=1.6468\times10^{-7}$, $-0.016875x^2=-5.0700\times10^{-7}$, $+0.000094921875x=5.2029\times10^{-7}$, $-1.77975547\times10^{-7}$. Суммируя, получаем $-1.3\times10^{-20}$, то есть ноль с машинной точностью ✓. Если подставить часто встречающееся значение $0.0056808311$, остаток будет порядка $10^{-12}$, то есть это не корень.