При каких значениях k система x + 2y - 2z = 0, 2x - y + kz = 0, 3x + y - z = 0 имеет нетривиальное решение? Перечислите все решения в каждом случае.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим тип системы. Все правые части равны $0$, значит, система однородная, и $(0,0,0)$ всегда является решением. Вопрос — существуют ли другие решения, что возможно только при обращении определителя коэффициентов в ноль.

2. 2

   Исключим переменные по двум уравнениям без $k$. В первом и третьем уравнениях коэффициенты известны, поэтому начнём с них. Из третьего уравнения:

   $y=z-3x,$

   и подставим это выражение во второе уравнение:

   $x+2(z-3x)-2z=x+2z-6x-2z=-5x=0\;\Longrightarrow\;x=0.$

   Таким образом, $x=0$ при любом значении $k$ — параметр не влияет на первую переменную.

3. 3

   Подставим $x=0$ обратно в систему. При $x=0$ из третьего уравнения получаем $y=z$, а второе уравнение принимает вид:

   $-y+kz=0\;\Longrightarrow\;-z+kz=0\;\Longrightarrow\;(k-1)z=0.$

   Теперь всё зависит от того, обращается ли множитель $k-1$ в ноль.

4. 4

   Рассмотрим два случая. Если $k\neq 1$, то $k-1\neq 0$ и обязательно $z=0$, значит, $y=0$, и единственным решением будет тривиальное:

   $(x,y,z)=(0,0,0).$

   Если $k=1$, то уравнение $(k-1)z=0$ выполняется при любом $z$, поэтому $z=t$ — произвольное, $y=t$, $x=0$:

   $(x,y,z)=(0,t,t),\qquad t\in\mathbb{R}.$

5. 5

   Проверим через определитель. Разложим определитель коэффициентов по первой строке:

   $\begin{vmatrix}1&2&-2\\2&-1&k\\3&1&-1\end{vmatrix}=1(1-k)-2(-2-3k)-2(2+3)=1-k+4+6k-10=5k-5=5(k-1).$

   Он обращается в ноль только при $k=1$, что полностью совпадает с разбором выше. Для $k=1$ быстрая проверка: $(0,1,1)$ даёт $0+2-2=0$ ✓, $0-1+1=0$ ✓, $0+1-1=0$ ✓.