Решить уравнение x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)².

Step-by-step solution

1. 1

   Не спешим раскрывать скобки — слева раскладываем разность квадратов. Так как $64=8^{2}$, $(8.9-x)^{2}-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x),$ и левая часть равна $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)$. Если всё перемножить, получится обычное уравнение четвёртой степени, а структура, благодаря которой задача решается вручную, будет потеряна.

2. 2

   Правую часть раскладываем тоже. Заметим, что $71\times 0.9=63.9$, поэтому $63.9-71x=71(0.9-x)\quad\Longrightarrow\quad (63.9-71x)^{2}=71^{2}(0.9-x)^{2}=5041(0.9-x)^{2}.$ Увидеть, что $63.9$ — это $71\times 0.9$, и есть ключевое наблюдение всей задачи.

3. 3

   Переносим всё в одну часть и выносим $(0.9-x)$. $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)-5041(0.9-x)^{2}=0$ $(0.9-x)\left[x^{2}(16.9-x)-5041(0.9-x)\right]=0$ Уравнение четвёртой степени распалось на линейный множитель и кубический, то есть степень 4 превратилась в то, что реально доводится до конца.

4. 4

   Выписываем точный корень. Первый множитель даёт $0.9-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.9,$ и подстановка это подтверждает: левая часть обращается в $0.81(64-64)=0$, а правая — в $(63.9-63.9)^{2}=0$.

5. 5

   Решаем оставшееся кубическое уравнение. Раскрыв скобку, получаем $16.9x^{2}-x^{3}+5041x-4536.9=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0,$ или, избавившись от десятичных дробей, $10x^{3}-169x^{2}-50410x+45369=0$. Рациональных корней у него нет, а численно три его вещественных корня равны $x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$

6. 6

   Проверяем корни кубического уравнения по формулам Виета. Для $x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9$ сумма корней должна равняться $16.9$, сумма попарных произведений $-5041$, а произведение $-4536.9$. Наши три числа дают $-63.548577+0.897443+79.551134=16.900000$, сумму попарных произведений $-5041.000000$ и произведение $-4536.899998$ — все три величины совпадают. Обратите внимание, насколько $0.897443$ близко к точному корню $0.9$: они отличаются всего на $0.0026$, поэтому округлённое решение легко принять за точное.

7. 7

   Выписываем полное множество решений. $x=0.9,\qquad x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$ Все четыре корня вещественные, что согласуется с многочленом четвёртой степени, у которого в разности старший коэффициент положителен и который меняет знак четыре раза.