Решите x³ − 59x² − 420x + 10800 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала применим признак рационального корня — и убедимся, что он не работает. Любой рациональный корень приведённого кубического уравнения с целыми коэффициентами обязан быть целым делителем свободного члена $10800=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}$. Проверим подходящие значения: $f(10)=1700$, $f(12)=-1008$, $f(15)=-5400$, $f(20)=-13200$, $f(-15)=450$, $f(-20)=-12400$. Ни одно из них не обращает многочлен в ноль, и остальные делители также не дают корней. Значит, рациональных корней нет и разложить на множители по целым нельзя — кубическое уравнение остаётся решать только численно.

2. 2

   Локализуем корни по смене знака. Уже вычисленные значения $f(x)=x^{3}-59x^{2}-420x+10800$ позволяют отыскать промежутки, где лежат корни. Так, $f(-20)=-12400<0$ и $f(-15)=450>0$ — значит, один корень содержится в $(-20;-15)$. Далее, $f(11)=372>0$ и $f(12)=-1008<0$ — второй корень в $(11;12)$. Наконец, $f(62)=-3708<0$ и $f(63)=216>0$ — третий корень в $(62;63)$. Три смены знака для кубического уравнения означают, что все три корня действительные и простые.

3. 3

   Уточним каждый промежуток методом Ньютона. Производная $f'(x)=3x^{2}-118x-420$. Итерации по формуле $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$, начиная с середины каждого промежутка, быстро сходятся к значениям
   $x_{1}=-15.219737190,\qquad x_{2}=11.273122422,\qquad x_{3}=62.946614768.$ Производная в каждой точке корня далека от нуля ($2070{,}85$, $-1368{,}98$ и $4039{,}13$), поэтому метод Ньютона работает устойчиво.

4. 4

   Проверим результат по всем трём формулам Виета, а не только по сумме. Для $x^{3}+ax^{2}+bx+c$ корни удовлетворяют: $\sum r_{i}=-a$, $\sum_{i<j}r_{i}r_{j}=b$, $r_{1}r_{2}r_{3}=-c$. Подставляя найденные значения, получаем
   $\sum r_{i}=59.000000,\qquad \sum_{i<j}r_{i}r_{j}=-420.000000,\qquad r_{1}r_{2}r_{3}=-10800.000000,$
   что в точности совпадает с коэффициентами $59$, $-420$ и $-10800$. Проверять только сумму недостаточно — неверная пара корней может дать правильную сумму, но неправильное произведение.

5. 5

   Запишем окончательный ответ.
   $x\approx -15.219737,\qquad x\approx 11.273122,\qquad x\approx 62.946615.$ Большой разброс между корнями объясняется коэффициентами: старшие члены $x^{3}-59x^{2}$ «уводят» один корень далеко вправо за $60$, а большой свободный член $10800$ удерживает два других корня ближе к нулю.