Упростить (3x² + 4)² + (3x² − 4)² − 2(3x² + 4)(3x² − 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Не спешите раскрывать скобки — сначала посмотрите на структуру. В лоб это три раскрытия до четвёртой степени и много бухгалтерии. Но три слагаемых — это в точности $a^2$, $b^2$ и $-2ab$ для двух повторяющихся блоков, а это визитная карточка формулы

   $a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

2. 2

   Введём обозначения для блоков. Пусть

   $a=3x^2+4,\qquad b=3x^2-4$

   Тогда выражение буквально имеет вид $a^2+b^2-2ab$, то есть равно $(a-b)^2$. Именно взгляд на каждую скобку как на единый объект избавляет от всей работы.

3. 3

   Найдём $a-b$, аккуратно раскрыв минус перед скобкой.

   $a-b=(3x^2+4)-(3x^2-4)=3x^2+4-3x^2+4=8$

   Слагаемые $3x^2$ взаимно уничтожаются, а две константы складываются (потому что $-(-4)=+4$). Получить здесь $0$ вместо $8$ — типичная ошибка со знаком.

4. 4

   Возведём разность в квадрат.

   $(a-b)^2=8^2=64$

   Итак, всё выражение сворачивается в константу $64$: оно принимает одно и то же значение при любом действительном $x$, и никакого $x$ в ответе не остаётся.

5. 5

   Проверим при двух разных значениях $x$. При $x=0$: $16+16-2(4)(-4)=16+16+32=64$. ✓ При $x=1$: $49+1-2(7)(-1)=49+1+14=64$. ✓ Совпадение результатов при разных входных данных — веский довод в пользу того, что выражение действительно постоянно.