Упростите (x + 4)² − (x² + 8x + 16).

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем квадрат по формуле квадрата суммы. Тождество $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ при $a=x$, $b=4$ даёт

   $(x+4)^{2}=x^{2}+2(x)(4)+4^{2}=x^{2}+8x+16.$

   Средний член равен $2\cdot x\cdot 4=8x$, а не $4x$ — потеря множителя $2$ здесь безусловно самая частая ошибка.

2. 2

   Заметим, что в скобке стоит тот же самый трёхчлен. Выражение принимает вид

   $\left(x^{2}+8x+16\right)-\left(x^{2}+8x+16\right),$

   то есть величина минус она же. Увидеть это сразу быстрее, чем перемалывать алгебру, и это объясняет ответ ещё до вычислений: по существу задача спрашивает, действительно ли $x^{2}+8x+16$ — это разложение $(x+4)^{2}$.

3. 3

   Раскроем минус перед скобкой, поменяв знак у каждого слагаемого. Для надёжности выпишем всё подряд:

   $x^{2}+8x+16-x^{2}-8x-16.$

   Все три знака внутри скобки меняются на противоположные. Если поменять знак только у первого слагаемого — очень распространённая оплошность, — вместо $0$ останется $16x+32$.

4. 4

   Приведём подобные слагаемые. Сгруппируем по степеням:

   $(x^{2}-x^{2})+(8x-8x)+(16-16)=0+0+0=0.$

   Выражение упрощается до постоянной $0$.

5. 5

   Истолкуем результат. Значение равно $0$ при любом действительном $x$, значит, перед нами тождество, а не уравнение, которое нужно решать. Проверка при $x=3$: $(3+4)^{2}=49$ и $9+24+16=49$, разность $0$ ✓; при $x=-1$: $9$ и $1-8+16=9$, разность $0$ ✓. Совпадение на двух пробных значениях ожидаемо — это буквально один и тот же многочлен.