Решить 152.5 · 0.5 · (x/54.9) + 152.5 · (1 − x/54.9) = 100 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберёмся в структуре до всякой алгебры. Дробь $\frac{x}{54.9}$ — это доля целого, взятая с половинной концентрацией; $1-\frac{x}{54.9}$ — оставшаяся доля с полной концентрацией $152.5$. Именно поэтому одна и та же дробь встречается дважды с противоположными знаками: благодаря этому уравнение линейно по одной неизвестной $t=\frac{x}{54.9}$.

2. 2

   Свернём числовое произведение и раскроем скобки. Сначала $152.5\cdot 0.5=76.25$. Раскрывая второе слагаемое,

   $152.5\left(1-\frac{x}{54.9}\right)=152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}$

   получаем уравнение

   $76.25\cdot\frac{x}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{x}{54.9}=100$

3. 3

   Сложим два слагаемых с $\frac{x}{54.9}$. Их коэффициенты вычитаются:

   $76.25-152.5=-76.25$

   и остаётся

   $152.5-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=100$

   Падение от полной концентрации до целевой составляет ровно половину полного значения — это и есть $-76.25$.

4. 4

   Выделим дробь. Вычтем $152.5$ и разделим на $-76.25$:

   $-76.25\cdot\frac{x}{54.9}=-52.5\quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{54.9}=\frac{52.5}{76.25}$

5. 5

   Сократим отношение до дроби, а не будем округлять. Умножим числитель и знаменатель на $100$ и разделим на $125$:

   $\frac{52.5}{76.25}=\frac{5250}{7625}=\frac{42}{61}$

   Вот где задача оказывается изящнее, чем выглядит: $549=9\cdot 61$, поэтому

   $x=54.9\cdot\frac{42}{61}=\frac{549}{10}\cdot\frac{42}{61}=\frac{9\cdot 42}{10}=\frac{378}{10}$

6. 6

   Запишем точный ответ и проверим его. Итак, $x=37.8$ ровно: десятичная дробь конечная, это не округлённое значение. Подставляя обратно:

   $76.25\cdot\frac{37.8}{54.9}+152.5-152.5\cdot\frac{37.8}{54.9}=152.5-76.25\cdot\frac{42}{61}=152.5-52.5=100\ \checkmark$