Решить 2(x−1,6)² + (x−1,5)² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что каждое слагаемое в левой части неотрицательно. Для вещественных $x$ выполняется $(x-1.6)^2 \ge 0$ и $(x-1.5)^2 \ge 0$, а умножение первого на положительное число $2$ сохраняет неотрицательность. Следовательно, левая часть — сумма двух неотрицательных величин.

2. 2

   Используем принцип суммы неотрицательных чисел. Сумма неотрицательных чисел равна $0$ только тогда, когда каждое слагаемое равно $0$. В данном случае это означает $2(x-1.6)^2 = 0 \quad\text{и}\quad (x-1.5)^2 = 0,$ то есть $x = 1.6$ и одновременно $x = 1.5$.

3. 3

   Обнаруживаем противоречие. Одно и то же число не может быть одновременно $1.6$ и $1.5$, значит, ни одно вещественное $x$ не удовлетворяет обеим этим условиям. Следовательно, уравнение не имеет вещественных решений.

4. 4

   Проверим это алгебраически через раскрытие скобок. $2(x-1.6)^2 = 2x^2-6.4x+5.12$, а $(x-1.5)^2 = x^2-3x+2.25$, значит, уравнение принимает вид $3x^2-9.4x+7.37 = 0.$

5. 5

   Вычислим дискриминант полученного квадратного уравнения. $\Delta = (-9.4)^2-4(3)(7.37) = 88.36-88.44 = -0.08 < 0$, что дополнительно подтверждает отсутствие вещественных корней. Погрешность мала, поэтому структурный аргумент из предыдущих шагов надёжнее, чем вычисления с десятичными дробями.

6. 6

   Поясним практический смысл. Это остаток метода наименьших квадратов: минимум $3x^2-9.4x+7.37$ достигается при $x = \tfrac{9.4}{6} \approx 1.5667$ и равен $\tfrac{0.08}{12} \approx 0.00667 > 0$. Лучшее приближение между $1.6$ и $1.5$ — $x \approx 1.5667$, но сумма никогда не обращается в нуль.