Упростить (b − 1)/(b + √b − 1) умножить на обратную дробь к (√b + 1)/(b√b − 1), затем прибавить 2√b.

Step-by-step solution

1. 1

   Убираем отрицательную степень, переворачивая дробь. Для любой ненулевой дроби выполняется $\left(\tfrac{u}{v}\right)^{-1}=\tfrac{v}{u}$, поэтому

   $\left(\frac{\sqrt{b}+1}{b\sqrt{b}-1}\right)^{-1}=\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}$

   — и выражение превращается в обычное произведение плюс слагаемое:

   $\frac{b-1}{b+\sqrt{b}-1}\cdot\frac{b\sqrt{b}-1}{\sqrt{b}+1}+2\sqrt{b}$

2. 2

   Вводим подстановку $x=\sqrt{b}$, чтобы получить многочлены. Это ключевой шаг: радикалы мешают использовать стандартные формулы разложения, но при $x=\sqrt{b}\ (x>0)$ имеем $b=x^2$, $b\sqrt{b}=x^3$, и выражение принимает вид

   $\frac{x^2-1}{x^2+x-1}\cdot\frac{x^3-1}{x+1}+2x$

3. 3

   Раскладываем и сокращаем. Теперь можно применить стандартные формулы:

   $x^2-1=(x-1)(x+1),\qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

   Тогда произведение равно

   $\frac{(x-1)(x+1)}{x^2+x-1}\cdot\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x+1}=\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)}{x^2+x-1}$

   Слагаемое $x+1$ сокращается; знаменатель $x^2+x-1$ не совпадает с $x^2+x+1$, поэтому больше ничего не сокращается.

4. 4

   Приводим к общему знаменателю и складываем с $2x$. Представим $2x=\dfrac{2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$ и складываем:

   $\frac{(x-1)^2(x^2+x+1)+2x(x^2+x-1)}{x^2+x-1}$

   Раскроем скобки в числителе:

   $(x^2-2x+1)(x^2+x+1)=x^4-x^3-x+1$

   $2x(x^2+x-1)=2x^3+2x^2-2x$

   $\text{сумма}=x^4+x^3+2x^2-3x+1$

5. 5

   Проверяем, что дробь несократимая. Деление $x^4+x^3+2x^2-3x+1$ на $x^2+x-1$ даёт частное $x^2+3$ и остаток $-6x+4\neq 0$, то есть деление не выполняется нацело и больше ничего не сокращается.

6. 6

   Возвращаемся к переменной $b$ и указываем область допустимых значений. При $x^2=b$, $x^3=b\sqrt{b}$, $x^4=b^2$ получаем:

   $\frac{b^2+b\sqrt{b}+2b-3\sqrt{b}+1}{b+\sqrt{b}-1}$

   Это выражение определено при $b>0$, $b\neq 1$ (чтобы $b\sqrt{b}-1\neq 0$) и $b\neq\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}382$ (чтобы $b+\sqrt{b}-1\neq 0$). Проверка при $b=2$ даёт $3{,}142136$ как для исходного, так и для упрощённого выражения.