Разложите 12x² - 176x + 480 на множители максимально полно и найдите его корни.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем наибольший общий делитель. Коэффициенты $12$, $176$ и $480$ делятся на $4$ (и ни на какое большее число, так как $12=4\cdot3$, а $3\nmid176$):

   $12x^2-176x+480=4\left(3x^2-44x+120\right)$

   Проверим: $4\cdot3=12$ ✓, $4\cdot44=176$ ✓, $4\cdot120=480$ ✓.

2. 2

   Пробуем метод произведения крайних членов для внутреннего трёхчлена. Для разложения $3x^2-44x+120$ по целым нужно найти два числа с произведением $3\times120=360$ и суммой $-44$. Перебираем пары делителей $360$: $(1,360),(2,180),(3,120),(4,90),(5,72),(6,60),(8,45),(9,40),(10,36),(12,30),(15,24),(18,20)$, их суммы: $361,182,123,94,77,66,53,49,46,42,39,38$ — если поменять знаки у обеих, сумма тоже меняет знак. Ни одна не даёт $44$, значит, разложение на целые множители невозможно.

3. 3

   Проверим по дискриминанту. Для $3x^2-44x+120$:

   $\Delta=(-44)^2-4(3)(120)=1936-1440=496$

   и $496=16\times31$ не является точным квадратом ($22^2=484$, $23^2=529$). Нецелый дискриминант — это и есть признак «не раскладывается на рациональные множители».

4. 4

   Опровергнем часто встречающееся разложение. Иногда приводят ответ $4(x-6)(3x-20)$, но при раскрытии скобок получаем

   $4(x-6)(3x-20)=4\left(3x^2-38x+120\right)=12x^2-152x+480$

   Средний коэффициент $-152$, а не $-176$. Подставим $x=1$ для проверки: исходное выражение $12-176+480=316$, а $4(1-6)(3-20)=4(-5)(-17)=340$ — не совпадает.

5. 5

   Находим точные корни по формуле. Решим $3x^2-44x+120=0$:

   $x=\frac{44\pm\sqrt{496}}{6}=\frac{44\pm4\sqrt{31}}{6}=\frac{22\pm2\sqrt{31}}{3}$

   где $\sqrt{496}=\sqrt{16\cdot31}=4\sqrt{31}$. Приближённо, если $\sqrt{31}=5.567764$:

   $x_1=\frac{22+11.13553}{3}=11.04518,\qquad x_2=\frac{22-11.13553}{3}=3.62149$

6. 6

   Запишем итоговое разложение и проверим. По вещественным числам:

   $12x^2-176x+480=12\left(x-\frac{22+2\sqrt{31}}{3}\right)\left(x-\frac{22-2\sqrt{31}}{3}\right)$

   а по целым максимально возможное — $4\left(3x^2-44x+120\right)$. Подстановка корней даёт значение исходного выражения с точностью до $10^{-9}$ от нуля ✓, а шаг с НОД проверен на $40$ целых значениях ✓.