Определите, является ли f(x) = x√(x+9) чётной, нечётной или ни той, ни другой — алгебраически, графически и численно, сравнив f(x) и f(-x).

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним признаки чётности и нечётности. Функция $f$ называется чётной, если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения (симметрия относительно оси $Oy$), и нечётной, если $f(-x) = -f(x)$ (симметрия относительно начала координат). Если ни одно из этих равенств не выполняется для всех $x$, функция считается «ни чётной, ни нечётной» — так бывает чаще всего.

2. 2

   Сначала рассмотрим область определения. Подкоренное выражение должно удовлетворять $x + 9 \ge 0$, то есть область определения — $[-9, \infty)$. Этот промежуток не симметричен относительно нуля: например, $x = 20$ входит в область, а $x = -20$ — нет. Для чётной или нечётной функции область определения должна быть симметрична, поэтому уже этот факт определяет ответ, даже без алгебраических преобразований.

3. 3

   Выполним алгебраическую проверку $f(-x)$. Подставим $-x$ вместо $x$ во все места:

   $f(-x) = (-x)\sqrt{-x+9} = -x\sqrt{9-x}$

   Сравним с $f(x) = x\sqrt{x+9}$ и $-f(x) = -x\sqrt{x+9}$. Подкоренные выражения разные — $\sqrt{9-x}$ и $\sqrt{x+9}$ — значит, $f(-x)$ не совпадает ни с $f(x)$, ни с $-f(x)$.

4. 4

   Проверим на числовых примерах. Подставим симметричные значения:

   $x$	$f(x)$
   $1$	$1\sqrt{10} \approx 3.16$
   $-1$	$-1\sqrt{8} \approx -2.83$
   $4$	$4\sqrt{13} \approx 14.42$
   $-4$	$-4\sqrt{5} \approx -8.94$

   Если бы функция была чётной, должно выполняться $f(-1) = f(1)$, но $-2.83 \neq 3.16$. Если бы была нечётной, то $f(-1) = -f(1) = -3.16$, но $f(-1) = -2.83$. Аналогично и для пары $\pm 4$ — ни одно из условий не выполняется.

5. 5

   График функции подтверждает вывод. График начинается в точке $(-9, 0)$, имеет минимум ровно при $x = -6$, затем возрастает без ограничения вправо; слева от $x = -9$ графика нет. Симметрии ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат не наблюдается.

6. 6

   Делаем вывод. Все три способа проверки показывают: $f(x) = x\sqrt{x+9}$ — ни чётная, ни нечётная функция. Для сравнения: функция $x\sqrt{x^2+9}$ была бы нечётной, так как квадрат под корнем не меняется при замене $x$ на $-x$.