Решить 3x⁴ + 24x³ + 82x² + 136x + 63 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем разложение на два квадратных множителя с коэффициентом 3 при $x^4$. Так как $3$ — простое число, любое разложение на множители с целыми коэффициентами должно иметь вид

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+ax+b\right)\left(x^{2}+cx+d\right)$

   при $bd=63$. При раскрытии скобок получаем четыре условия на коэффициенты:

   $3c+a=24,\quad 3d+ac+b=82,\quad ad+bc=136,\quad bd=63$

2. 2

   Переберём делители числа 63. Попробуем $b=7,\ d=9$ и подставим в первое и третье условия: $a=12,\ c=4$; второе условие даёт $27+48+7=82$ — верно, и третье $108+28=136$ — тоже верно. Все четыре условия выполняются, значит

   $3x^{4}+24x^{3}+82x^{2}+136x+63=\left(3x^{2}+12x+7\right)\left(x^{2}+4x+9\right)$

3. 3

   Перед использованием обязательно проверим разложение раскрытием скобок. Это не формальность: например, разложение $3\left(x^{2}+6x+3\right)\left(x^{2}+6x+7\right)$ при раскрытии даёт $3x^{4}+36x^{3}+138x^{2}+180x+63$, где совпадают только первый и последний коэффициенты, а средние — нет. Именно проверка средних коэффициентов выявляет ошибку.

4. 4

   Решим первое квадратное уравнение. Для $3x^{2}+12x+7=0$:

   $x=\frac{-12\pm\sqrt{144-84}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{60}}{6}=\frac{-12\pm 2\sqrt{15}}{6}=\frac{-6\pm\sqrt{15}}{3}$

   В числовом виде $x\approx-0.70901$ и $x\approx-3.29099$; оба корня действительные, так как дискриминант $60$ положителен.

5. 5

   Решим второе квадратное уравнение. Для $x^{2}+4x+9=0$ дискриминант равен $16-36=-20<0$, значит

   $x=\frac{-4\pm\sqrt{-20}}{2}=-2\pm i\sqrt5$

6. 6

   Запишем все четыре корня и проверим численно.

   $x=\frac{-6+\sqrt{15}}{3},\ \frac{-6-\sqrt{15}}{3},\ -2+i\sqrt5,\ -2-i\sqrt5$

   Численный подбор корней исходного биквадратного уравнения даёт $-0.70901$, $-3.29099$ и $-2\pm 2.23607i$, что полностью совпадает ✓ ($\sqrt5=2.23607$).