Разложить x² + x + 1 на множители над вещественными числами, если возможно, иначе над комплексными.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим возможность разложения над вещественными числами с помощью дискриминанта. Пусть $a=b=c=1$:

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3<0$

   Вещественных корней нет, значит, $x^{2}+x+1$ неразложим над $\mathbb{R}$. Для наглядности можно дополнить до полного квадрата: $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34\ge\tfrac34>0$, выражение не обращается в ноль.

2. 2

   Найдём комплексные корни.

   $x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$

   Получена сопряжённая пара, как и должно быть для вещественных коэффициентов.

3. 3

   Запишем разложение над $\mathbb{C}$.

   $x^{2}+x+1=\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)=\left(x+\frac12-\frac{i\sqrt3}{2}\right)\left(x+\frac12+\frac{i\sqrt3}{2}\right)$

4. 4

   Проверим по теореме Виета. Сумма корней: $\dfrac{-1+i\sqrt3}{2}+\dfrac{-1-i\sqrt3}{2}=-1=-\dfrac{b}{a}$ ✓, произведение: $\dfrac{(-1)^{2}-\left(i\sqrt3\right)^{2}}{4}=\dfrac{1+3}{4}=1=\dfrac{c}{a}$ ✓. При раскрытии скобок снова получаем $x^{2}+x+1$. Подстановка любого корня даёт остаток меньше $10^{-15}$ ✓.

5. 5

   Заметим, что корни — это кубические корни из единицы. Так как

   $x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\qquad\Longrightarrow\qquad x^{2}+x+1=\frac{x^{3}-1}{x-1}$

   эти два корня — это как раз кубические корни из $1$, отличные от $1$, обычно обозначаемые $\omega$ и $\omega^{2}$. Проверка: $\omega^{3}=1$ и $\omega^{2}+\omega+1=0$ с точностью до $10^{-15}$ ✓. Поэтому $x^{2}+x+1$ появляется при разложении разности кубов.