Дано (x² + y² + z²)² = 8z. Можно ли выразить z как единственную функцию f(x, y)? Опишите поверхность.

Step-by-step solution

1. 1

   Сразу обратим внимание на ограничение по знаку. Левая часть — это квадрат, значит, неотрицательна, поэтому $8z\ge 0$, а значит, $z\ge 0$. Вся поверхность лежит в верхней полуплоскости по $z$.

2. 2

   Проверим начало координат, чтобы решить вопрос однозначности. Подставим $x=y=0$:

   $\left(z^{2}\right)^{2}=8z\ \Longrightarrow\ z^{4}-8z=0\ \Longrightarrow\ z\left(z^{3}-8\right)=0\ \Longrightarrow\ z=0\ \text{или}\ z=2$

   Два значения $z$ соответствуют одной паре $(0,0)$, поэтому единственной функции $f$ для всей поверхности не существует — нарушается критерий вертикальной прямой.

3. 3

   Рассмотрим радиус окружности вместо $z$. Возьмём неотрицательный корень из обеих частей (это допустимо, так как левая часть — квадрат и $z\ge 0$):

   $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\sqrt{8z}\ \Longrightarrow\ x^{2}+y^{2}=\sqrt{8z}-z^{2}$

   Это уравнение удобно описывает поверхность: при каждом $z$ получается окружность с вычисляемым радиусом.

4. 4

   Определим возможные значения $z$. Левая часть $x^{2}+y^{2}$ не может быть отрицательной, значит,

   $\sqrt{8z}\ge z^{2}\ \Longrightarrow\ 8z\ge z^{4}\ \Longrightarrow\ z\left(8-z^{3}\right)\ge 0\ \Longrightarrow\ 0\le z\le 2$

   Таким образом, поверхность ограничена плоскостями $z=0$ и $z=2$.

5. 5

   Опишем форму поверхности. При каждом $z\in[0,2]$ сечение — это окружность радиуса $\sqrt{\sqrt{8z}-z^{2}}$. Этот радиус равен $0$ при $z=0$ и $z=2$, положителен между ними (максимум при $z=2^{-1/3}\approx 0.7937$, где радиус $\approx 1.3747$), значит, поверхность — замкнутое, «яблокообразное» тело вращения вокруг оси $z$, сужающееся к точкам сверху и снизу.

6. 6

   Сформулируем вывод. Единственной функции $z=f(x,y)$ не существует; поверхность задаётся неявно или разбивается на верхнюю и нижнюю ветви над диском $x^{2}+y^{2}\le\max\left(\sqrt{8z}-z^{2}\right)$. Если попытаться записать одну формулу $f$, то половина поверхности будет потеряна.