Функцию f(x) = |x − 1| + 5 сдвинули на 4 единицы вверх и на 2 единицы вправо. Записать уравнение новой функции.

Step-by-step solution

1. 1

   Считываем вершину из данной записи. В виде $f(x)=|x-h|+k$ вершина находится в точке $(h,k)$, поэтому у $f(x)=|x-1|+5$ излом расположен в точке

   $(1,5)$

   Оба переноса сдвинут именно эту единственную точку, а стороны «галочки» всё время сохраняют угловые коэффициенты $\pm 1$.

2. 2

   Сдвигаем на 2 вправо заменой $x\to x-2$.

   $\left|(x-2)-1\right|+5=|x-3|+5$

   Обратите внимание: константа внутри модуля изменилась с $1$ на $3$ — сдвиг вправо увеличивает значение $h$, хотя внутри модуля мы выполняли вычитание.

3. 3

   Сдвигаем на 4 вверх, прибавляя 4 снаружи.

   $|x-3|+5+4=|x-3|+9$

4. 4

   Записываем ответ и убеждаемся, что вершина сместилась правильно.

   $f(x)=|x-3|+9,\qquad \text{вершина }(3,9)$

   Переход из $(1,5)$ в $(3,9)$ — это $2$ вправо и $4$ вверх $\checkmark$; смещение вершины и есть самая наглядная из доступных проверок.

5. 5

   Проверяем ещё одну точку, не вершину. Исходный график проходит через $(0,6)$, ведь $|0-1|+5=6$. Перенос этой точки на $2$ вправо и $4$ вверх предсказывает $(2,10)$, и новая формула даёт $|2-3|+9=1+9=10\;\checkmark$. Заметим также, что весь график теперь лежит не ниже $y=9$, поэтому у этой функции вовсе нет точек пересечения с осью $x$.