Какое из утверждений верно? A: при a > 0 наименьшее значение a³ + 1/a² равно 2√a. B: при x > 1 наименьшее значение x + 1/x равно 2. C: при x > 0 выполнено √x + 1/√x ≥ 2. D: при x < 5/4 наименьшее значение y = 4x − 2 + 1/(4x − 5) равно 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем три условия, при которых работает неравенство о средних. Чтобы оценка $u+v\ge 2\sqrt{uv}$ давала настоящее наименьшее значение, слагаемые должны быть положительными, их произведение — постоянным, а точка равенства $u=v$ обязана попадать в допустимую область. Каждый неверный вариант ниже нарушает ровно одно из этих условий.

2. 2

   A неверно: оценка не является постоянной. Неравенство о средних даёт $a^{3}+\dfrac{1}{a^{2}}\ge 2\sqrt{a^{3}\cdot a^{-2}}=2\sqrt{a}$, но $2\sqrt a$ по-прежнему зависит от $a$, а значит это не значение минимума, а убегающая граница. (Настоящий минимум достигается при $3a^{2}=2a^{-3}$, то есть $a=(2/3)^{1/5}$.) Неверно.

3. 3

   B неверно: точку равенства отсекает область определения. Неравенство $x+\dfrac1x\ge 2$ обращается в равенство лишь при $x=1$, а область задана условием $x>1$. При $x>1$ функция строго возрастает, поэтому принимает значения $>2$, но $2$ никогда не достигает: точная нижняя грань равна $2$, а минимума нет. Неверно.

4. 4

   C верно. Положим $t=\sqrt{x}>0$; тогда $t+\dfrac1t\ge 2\sqrt{t\cdot\tfrac1t}=2$, причём равенство достигается при $t=1$, то есть при $x=1$, а эта точка входит в область $x>0$. Значит, неравенство выполняется при всех $x>0$ и является точным. Верно.

5. 5

   D неверно: 1 — это максимум, а не минимум. Положим $t=4x-5$; поскольку $x<\tfrac54$, имеем $t<0$. Тогда $4x-2=t+3$, и

   $y=t+3+\frac1t=3+\left(t+\frac1t\right)$

   При $t<0$ верно $t+\dfrac1t=-\left(|t|+\dfrac{1}{|t|}\right)\le -2$, откуда $y\le 1$. Значит, $1$ — наибольшее значение $y$ (достигается при $t=-1$, то есть при $x=1$), а вовсе не наименьшее. Неверно.

6. 6

   Делаем вывод.

   $\boxed{\text{C}}$

   Контрольные подстановки: для D при $x=1$ получаем $y=4-2+\tfrac{1}{-1}=1$, а при $x=0$ выходит $y=-2-\tfrac15=-2.2<1$, что подтверждает: $1$ — максимум. Для B при $x=1.1$ получаем $1.1+0.909=2.009>2$, и дальше значения убывают к $2$, но его не достигают.