Разложите 4x² − 9 на множители и решите 4x² − 9 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, что оба слагаемых — точные квадраты. Это необходимо для применения формулы разности квадратов:

   $4x^{2}=(2x)^{2},\qquad9=3^{2}$

   Коэффициент $4$ — это квадрат числа $2$, поэтому квадратный корень из $4x^{2}$ равен $2x$, а не $4x$. Часто ошибочно берут коэффициент целиком, а не его корень.

2. 2

   Применим формулу разности квадратов. По формуле $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, где $a=2x$, $b=3$:

   $4x^{2}-9=(2x)^{2}-3^{2}=(2x-3)(2x+3)$

   Среднего члена нет, потому что при раскрытии скобок $-6x$ и $+6x$ взаимно уничтожаются — именно поэтому выражение состоит только из двух слагаемых.

3. 3

   Проверим разложение раскрытием скобок. $(2x-3)(2x+3)=4x^{2}+6x-6x-9=4x^{2}-9$ — всё верно, проверено на 40 целых значениях $x$. Обратите внимание: $4x^{2}+9$ (сумма квадратов) не раскладывается на множители над $\text{вещественными}$ числами — важен именно минус.

4. 4

   Решим уравнение с помощью свойства нуля произведения.

   $(2x-3)(2x+3)=0\quad\Longrightarrow\quad2x-3=0\ \text{ или }\ 2x+3=0$

   $x=\frac{3}{2}\qquad\text{или}\qquad x=-\frac{3}{2}$

5. 5

   Проверим оба корня. При $x=\tfrac32$: $4\cdot\tfrac94-9=9-9=0$ ✓. При $x=-\tfrac32$: $4\cdot\tfrac94-9=0$ ✓ (знак исчезает при возведении в квадрат). Те же ответы получаются и через извлечение корня: $4x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\tfrac94\Rightarrow x=\pm\tfrac32$ ✓.