Разложить xⁿ − yⁿ на множители при любом натуральном n.

Step-by-step solution

1. 1

   Покажем, что $(x-y)$ всегда является множителем. Рассмотрим выражение как многочлен по $x$ и подставим $x=y$:

   $y^{n}-y^{n}=0$

   По теореме о корне многочлена это верно при любом $n$, значит, $(x-y)$ всегда делит $x^{n}-y^{n}$ — здесь нет ограничений на чётность $n$, в отличие от суммы $x^{n}+y^{n}$, где требуется нечётное $n$.

2. 2

   Запишем формулу разложения.

   $x^{n}-y^{n}=(x-y)\left(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\cdots+xy^{n-2}+y^{n-1}\right)=(x-y)\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}$

   В скобках ровно $n$ слагаемых, каждое степени $n-1$, и все знаки положительные.

3. 3

   Докажем формулу телескопированием. Раскроем скобки, умножая $(x-y)$ на сумму:

   $x\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n}+x^{n-1}y+\cdots+xy^{n-1}$

   $y\sum_{k=0}^{n-1}x^{n-1-k}y^{k}=x^{n-1}y+x^{n-2}y^{2}+\cdots+y^{n}$

   Вычитая, видим, что все члены, кроме первого сверху и последнего снизу, сокращаются — остаётся ровно $x^{n}-y^{n}$ ✓.

4. 4

   Проверим на малых $n$.

   $n=2:\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)$

   $n=3:\ x^{3}-y^{3}=(x-y)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$

   Это привычные формулы разности квадратов и кубов — частные случаи общей формулы. Численно проверено для всех $n$ от $1$ до $8$ на $121$ целой паре значений ✓.

5. 5

   Когда разложение продолжается. Если $n$ составное, например $n=pq$, выражение также представляется как $\left(x^{p}\right)^{q}-\left(y^{p}\right)^{q}$ и снова раскладывается — так у $x^{6}-y^{6}$ появляются дополнительные множители $(x+y)$ и $x^{2}\pm xy+y^{2}$. Важное следствие в теории чисел: $x-y$ всегда делит $x^{n}-y^{n}$ при целых $x$ и $y$, например, $10^{n}-1$ всегда делится на $9$.