Застряли на этом? Решите с помощью ИИ
Algebra · real student question

Упростить 8(2t(1 - t²) - 2t(-t² - 1)) / (1 - t²)² - 10(1 - t²) / (t² + 1)².

Question

Simplify

8(2t(1−t2)−2t(−t2−1))(1−t2)2−10(1−t2)(t2+1)2\frac{8\left(2t\left(1-t^2\right)-2t\left(-t^2-1\right)\right)}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(t^2+1\right)^2}

Step-by-step solution

  1. Сначала раскроем внутренние скобки. В числителе первой дроби скрыто большое сокращение; если раскрыть скобки, задача сильно упростится:

    2t(1−t2)=2t−2t3,2t(−t2−1)=−2t3−2t2t\left(1-t^2\right)=2t-2t^3,\qquad 2t\left(-t^2-1\right)=-2t^3-2t

  2. Вычтем, аккуратно распределяя минус на оба слагаемых.

    (2t−2t3)−(−2t3−2t)=2t−2t3+2t3+2t=4t\left(2t-2t^3\right)-\left(-2t^3-2t\right)=2t-2t^3+2t^3+2t=4t

    Кубические слагаемые полностью сокращаются — вся скобка равна 4t4t.

  3. Соберём первую дробь заново. Умножим на внешний множитель 88:

    8⋅4t(1−t2)2=32t(1−t2)2\frac{8\cdot 4t}{\left(1-t^2\right)^2}=\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}

    Теперь выражение принимает вид

    32t(1−t2)2−10(1−t2)(1+t2)2\frac{32t}{\left(1-t^2\right)^2}-\frac{10\left(1-t^2\right)}{\left(1+t^2\right)^2}

  4. Проверим, есть ли общий множитель в знаменателях. (1−t2)2=(1−t)2(1+t)2\left(1-t^2\right)^2=(1-t)^2(1+t)^2, а (1+t2)2\left(1+t^2\right)^2 не раскладывается на множители над действительными числами. Общих множителей нет, значит, НОК — это просто их произведение:

    (1−t2)2(1+t2)2\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2

  5. Запишем всё через общий знаменатель.

    32t(1+t2)2−10(1−t2)3(1−t2)2(1+t2)2\frac{32t\left(1+t^2\right)^2-10\left(1-t^2\right)^3}{\left(1-t^2\right)^2\left(1+t^2\right)^2}

    Числитель не сокращается со знаменателем, поэтому это и есть окончательный вид; часто удобнее оставить две дроби.

  6. Проверим численно. При t=2.1t=2.1 исходное выражение, форма с двумя дробями и итоговая дробь дают 6.94419507046.9441950704; при t=−1.4t=-1.4 все три дают −47.5154208262-47.5154208262. ✓\checkmark (Все формы не определены при t=±1t=\pm 1. )

Answer

32t(1−t2)2−10(1−t2)(1+t2)2=32t(1+t2)2−10(1−t2)3(1−t2)2(1+t2)2\frac{32t}{\left(1-t^{2}\right)^{2}}-\frac{10\left(1-t^{2}\right)}{\left(1+t^{2}\right)^{2}}=\frac{32t\left(1+t^{2}\right)^{2}-10\left(1-t^{2}\right)^{3}}{\left(1-t^{2}\right)^{2}\left(1+t^{2}\right)^{2}}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions