Разделите 2t² − t − 15 на t − 1 по схеме Горнера. Укажите частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем, что делитель нужного вида. Схема Горнера требует, чтобы делитель был линейным и приведённым; $t-1$ удовлетворяет обоим условиям, поэтому $c=1$. У делимого старший коэффициент может быть любым — двойка в $2t^2$ никак не мешает, она просто станет старшим коэффициентом частного. Строка коэффициентов такова:

   $2,\;-1,\;-15$

2. 2

   Заранее предсказываем остаток. По теореме Безу последний столбец обязан дать значение многочлена при $t=1$:

   $f(1)=2(1)^2-1-15=2-16=-14$

   Если посчитать это сразу, таблица станет подтверждением, а не догадкой.

3. 3

   Выполняем цикл «умножить и прибавить» при $c=1$.

   $\begin{array}{r|rrr}1 & 2 & -1 & -15\\ & & 2 & 1\\ \hline & 2 & 1 & -14\end{array}$

   Сносим $2$; далее $2\cdot 1=2$ и $-1+2=1$; затем $1\cdot 1=1$ и $-15+1=-14$.

4. 4

   Считываем линейное частное. При делении квадратного трёхчлена на линейный двучлен частное линейно, поэтому первые два числа нижней строки — коэффициенты частного, а последнее — остаток:

   $\text{частное}=2t+1,\qquad \text{остаток}=-14$

5. 5

   Проверяем и истолковываем результат. Без дробей запись выглядит так:

   $2t^2-t-15=(t-1)(2t+1)-14$

   а раскрытие скобок даёт $(t-1)(2t+1)=2t^2+t-2t-1=2t^2-t-1$, и после вычитания $14$ получаем $2t^2-t-15\;\checkmark$. Так как остаток ненулевой, $t=1$ корнем не является; настоящее разложение — $2t^2-t-15=(2t+5)(t-3)$ с корнями $t=3$ и $t=-\tfrac52$.