Разложить (9/16)c² – 1 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, может ли дробный коэффициент быть полным квадратом. Дробь является полным квадратом, если и числитель, и знаменатель — полные квадраты. Здесь $9=3^{2}$ и $16=4^{2}$, значит

   $\frac{9}{16}c^{2}=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2},\qquad1=1^{2}$

   Корень из $\tfrac9{16}$ равен $\tfrac34$ — корень берётся отдельно из числителя и знаменателя, делить дробь пополам не требуется.

2. 2

   Применим формулу разности квадратов. Положим $a=\tfrac34c$, $b=1$:

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\left(\frac{3}{4}c\right)^{2}-1^{2}=\left(\frac{3}{4}c-1\right)\left(\frac{3}{4}c+1\right)$

3. 3

   Проверим раскрытием скобок. $\left(\tfrac34c\right)^{2}+\tfrac34c-\tfrac34c-1=\tfrac9{16}c^{2}-1$ — перекрёстные члены взаимно уничтожаются, как всегда при разности квадратов. Тождество проверено на 51 рациональной точке.

4. 4

   Рассмотрим вариант без дробей. Вынесем $\tfrac1{16}$ за скобку, чтобы получить целые коэффициенты:

   $\frac{9}{16}c^{2}-1=\frac{1}{16}\left(9c^{2}-16\right)=\frac{1}{16}(3c-4)(3c+4)$

   Это то же самое выражение — если каждое $\left(\tfrac34c\mp1\right)$ умножить на $4$, получится $(3c\mp4)$, а $4\times4=16$ даёт знаменатель. Оба варианта проверены численно и совпадают.

5. 5

   Выпишем корни. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем $\tfrac34c=\pm1$, значит

   $c=\pm\frac{4}{3}$

   Проверим: $\tfrac9{16}\cdot\tfrac{16}{9}-1=1-1=0$ для обоих знаков, так как в выражении только $c^{2}$.