Разложите на множители: (а) 27x³ + y³, (б) x³ − 8y³, (в) x³ + 512. Затем раскройте скобки в (x + 1)(x² − x + 1) и объясните, как результат подтверждает использованную формулу.

Step-by-step solution

1. 1

   Выучите две формулы, но ещё важнее — их структуру. Любое разложение с кубами получается из формул

   $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),\qquad a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

   Запоминать этот шаблон удобнее словами, а не символами: в первой скобке стоит тот же знак, что и в исходном выражении (плюс к плюсу, минус к минусу), а внутри квадратного трёхчлена средний знак противоположный, тогда как оба крайних слагаемых всегда положительны. Одно это правило спасает от самой частой ошибки — записи $a^2-2ab+b^2$ (а это всего лишь $(a-b)^2$) вместо $a^2-ab+b^2$.

2. 2

   (а) Ищем два куба в выражении $27x^3+y^3$. Вся работа здесь — заметить, что $27=3^3$, откуда

   $27x^3=(3x)^3,\qquad y^3=y^3\ \Longrightarrow\ a=3x,\; b=y$

   Подставляя в формулу суммы кубов:

   $27x^3+y^3=(3x+y)\big((3x)^2-(3x)(y)+y^2\big)=(3x+y)(9x^2-3xy+y^2)$

   Обратите внимание: $(3x)^2=9x^2$, а не $3x^2$, — в квадрат возводится всё выражение $3x$ целиком, и именно здесь чаще всего появляется числовая ошибка при верно расставленных знаках.

3. 3

   (б) Для $x^3-8y^3$ применяем формулу разности. Здесь $8y^3=(2y)^3$, поэтому $a=x$ и $b=2y$, и работает формула со знаком минус:

   $x^3-8y^3=(x-2y)\big(x^2+x(2y)+(2y)^2\big)=(x-2y)(x^2+2xy+4y^2)$

   Трёхчлен $x^2+2xy+4y^2$ дальше на множители над действительными числами не раскладывается: его дискриминант как квадратного трёхчлена относительно $x$ равен $(2y)^2-4(4y^2)=-12y^2<0$. Так устроен квадратный множитель в любом разложении кубов, поэтому множителей всегда ровно два.

4. 4

   (в) Узнаём в числе $512$ полный куб. Поскольку $512=8^3$, берём $a=x$ и $b=8$ в формуле суммы кубов:

   $x^3+512=x^3+8^3=(x+8)(x^2-8x+64)$

   Быстрая проверка по свободному члену: произведение свободных членов должно давать исходную константу, и действительно $8\times 64=512$. ✓

5. 5

   Раскрываем скобки в $(x+1)(x^2-x+1)$ и смотрим на формулу с другой стороны. Умножаем почленно:

   $(x+1)(x^2-x+1)=x(x^2-x+1)+1(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x+1$

   Все средние слагаемые взаимно уничтожаются попарно — $-x^2$ с $+x^2$ и $+x$ с $-x$, — и остаётся

   $(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1$

   Это в точности $a^3+b^3$ при $a=x$, $b=1$. Именно это взаимное уничтожение и есть причина, по которой средний знак внутри трёхчлена обязан быть $-ab$: он убирает два лишних средних слагаемых.

6. 6

   Проверяйте каждый ответ обратным умножением или подстановкой числа. Быстрее всего подставить удобное значение. Для пункта (в) при $x=2$: исходное выражение даёт $8+512=520$, а разложенное — $(2+8)(4-16+64)=10\times 52=520$. ✓ Одна числовая проверка на пункт ловит знаковые ошибки гораздо надёжнее, чем повторное перечитывание выкладок.