Разложить 9x² + 6x + 1 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, являются ли крайние члены полными квадратами. Получаем:

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 1=1^2$

   Значит, можно предположить формулу $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ при $a=3x$ и $b=1$.

2. 2

   Проверим средний член — именно этот шаг определяет возможность разложения. По формуле должен быть $2ab$:

   $2ab=2(3x)(1)=6x$

   Это полностью совпадает с данным средним членом. Без этой проверки можно ошибочно попытаться разложить, например, $9x^2+7x+1$, который не является полным квадратом.

3. 3

   Запишем разложение:

   $9x^2+6x+1=(3x+1)^2$

4. 4

   Проведём проверку раскрытием скобок:

   $(3x+1)^2=9x^2+3x+3x+1=9x^2+6x+1\qquad\checkmark$

   Дополнительно: дискриминант равен $6^2-4(9)(1)=0$, а нулевой дискриминант — это признак полного квадрата.